微积分学示例

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1

将 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 写为等式。

$y = x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = y^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $y^{\frac{2}{3}} = x$ 。

$y^{\frac{2}{3}} = x$

解题步骤 3.2

将方程两边同时进行 $\frac{3}{2}$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.3

化简左边。

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解题步骤 3.3.1

化简 ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

将 ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.3.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.3.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.3.1.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.3.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.3.1.1.3.2

重写表达式。

$y^{1} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.3.1.2

化简。

$y = \pm x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ 是否为 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 和 $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 5.2

求 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 的值域。

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解题步骤 5.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[0, \infty)$

解题步骤 5.3

求 $x^{\frac{3}{2}}$ 的定义域。

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解题步骤 5.3.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\sqrt{x^{3}}$

解题步骤 5.3.2

将 $\sqrt{x^{3}}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x^{3} \geq 0$

解题步骤 5.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

解题步骤 5.3.3.2

化简方程。

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解题步骤 5.3.3.2.1

化简左边。

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解题步骤 5.3.3.2.1.1

从根式下提出各项。

$x \geq \sqrt[3]{0}$

解题步骤 5.3.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.2.2.1

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 5.3.3.2.2.1.2

从根式下提出各项。

$x \geq 0$

解题步骤 5.3.4

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[0, \infty)$

解题步骤 5.4

求 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 的定义域。

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解题步骤 5.4.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\sqrt[3]{x^{2}}$

解题步骤 5.4.2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5.5

由于 $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ 的定义域为 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 的值域，而 $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ 的值域又为 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 的定义域，因此 $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ 为 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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