微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 4}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 1

将 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x^{2} + 1 \geq 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

从不等式两边同时减去 $1$ 。

$x^{2} \geq - 1$

解题步骤 2.2

因为左边为偶次幂，所以对所有实数都为正。

所有实数

解题步骤 3

将 $\frac{x^{2} + 3 x + 4}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{x^{2} + 1} = 0$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.2

化简方程的两边。

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解题步骤 4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 重写成 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.1

化简 ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1

将 ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(x^{2} + 1)}^{1} = 0^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.2

化简。

$x^{2} + 1 = 0^{2}$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x^{2} + 1 = 0$

解题步骤 4.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x^{2} = - 1$

解题步骤 4.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

解题步骤 4.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i$

解题步骤 4.3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i$

解题步骤 4.3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i$

解题步骤 4.3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i, - i$

解题步骤 5

定义域为全体实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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