微积分学示例

$f (x) = x^{5} - 2$

解题步骤 1

将 $f (x) = x^{5} - 2$ 写为等式。

$y = x^{5} - 2$

解题步骤 2

交换变量。

$x = y^{5} - 2$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $y^{5} - 2 = x$ 。

$y^{5} - 2 = x$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$y^{5} = x + 2$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[5]{x + 2}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 2}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 2}$ 是否为 $f (x) = x^{5} - 2$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (x^{5} - 2)$ 。

$f^{- 1} (x^{5} - 2) = \sqrt[5]{(x^{5} - 2) + 2}$

解题步骤 5.2.3

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$f^{- 1} (x^{5} - 2) = \sqrt[5]{x^{5} + 0}$

解题步骤 5.2.4

将 $x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (x^{5} - 2) = \sqrt[5]{x^{5}}$

解题步骤 5.2.5

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (x^{5} - 2) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\sqrt[5]{x + 2})$ 。

$f (\sqrt[5]{x + 2}) = {(\sqrt[5]{x + 2})}^{5} - 2$

解题步骤 5.3.3

将 ${\sqrt[5]{x + 2}}^{5}$ 重写为 $x + 2$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{x + 2}$ 重写成 ${(x + 2)}^{\frac{1}{5}}$ 。

$f (\sqrt[5]{x + 2}) = {({(x + 2)}^{\frac{1}{5}})}^{5} - 2$

解题步骤 5.3.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\sqrt[5]{x + 2}) = {(x + 2)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 2$

解题步骤 5.3.3.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $5$ 。

$f (\sqrt[5]{x + 2}) = {(x + 2)}^{\frac{5}{5}} - 2$

解题步骤 5.3.3.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.4.1

约去公因数。

$f (\sqrt[5]{x + 2}) = {(x + 2)}^{\frac{5}{5}} - 2$

解题步骤 5.3.3.4.2

重写表达式。

$f (\sqrt[5]{x + 2}) = (x + 2) - 2$

解题步骤 5.3.3.5

化简。

$f (\sqrt[5]{x + 2}) = x + 2 - 2$

解题步骤 5.3.4

合并 $x + 2 - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f (\sqrt[5]{x + 2}) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\sqrt[5]{x + 2}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 2}$ 为 $f (x) = x^{5} - 2$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 2}$

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