微积分学示例

$f (t) = 10 (\frac{2 t^{2} + 8 t + 55}{t^{2} + 4 t + 10})$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

组合 $10$ 和 $\frac{2 t^{2} + 8 t + 55}{t^{2} + 4 t + 10}$ 。

$\frac{d}{d t} [\frac{10 (2 t^{2} + 8 t + 55)}{t^{2} + 4 t + 10}]$

解题步骤 1.2

因为 $10$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{10 (2 t^{2} + 8 t + 55)}{t^{2} + 4 t + 10}$ 对 $t$ 的导数是 $10 \frac{d}{d t} [\frac{2 t^{2} + 8 t + 55}{t^{2} + 4 t + 10}]$ 。

$10 \frac{d}{d t} [\frac{2 t^{2} + 8 t + 55}{t^{2} + 4 t + 10}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = 2 t^{2} + 8 t + 55$ 且 $g (t) = t^{2} + 4 t + 10$ 。

$10 \frac{(t^{2} + 4 t + 10) \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 8 t + 55] - (2 t^{2} + 8 t + 55) \frac{d}{d t} [t^{2} + 4 t + 10]}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $2 t^{2} + 8 t + 55$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [55]$ 。

$10 \frac{(t^{2} + 4 t + 10) (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [55]) - (2 t^{2} + 8 t + 55) \frac{d}{d t} [t^{2} + 4 t + 10]}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$10 \frac{(t^{2} + 4 t + 10) (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [55]) - (2 t^{2} + 8 t + 55) \frac{d}{d t} [t^{2} + 4 t + 10]}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$10 \frac{(t^{2} + 4 t + 10) (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [55]) - (2 t^{2} + 8 t + 55) \frac{d}{d t} [t^{2} + 4 t + 10]}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 3.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$10 \frac{(t^{2} + 4 t + 10) (4 t + \frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [55]) - (2 t^{2} + 8 t + 55) \frac{d}{d t} [t^{2} + 4 t + 10]}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 3.5

因为 $8$ 对于 $t$ 是常数，所以 $8 t$ 对 $t$ 的导数是 $8 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$10 \frac{(t^{2} + 4 t + 10) (4 t + 8 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [55]) - (2 t^{2} + 8 t + 55) \frac{d}{d t} [t^{2} + 4 t + 10]}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$10 \frac{(t^{2} + 4 t + 10) (4 t + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [55]) - (2 t^{2} + 8 t + 55) \frac{d}{d t} [t^{2} + 4 t + 10]}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 3.7

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$10 \frac{(t^{2} + 4 t + 10) (4 t + 8 + \frac{d}{d t} [55]) - (2 t^{2} + 8 t + 55) \frac{d}{d t} [t^{2} + 4 t + 10]}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 3.8

因为 $55$ 对于 $t$ 是常数，所以 $55$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$10 \frac{(t^{2} + 4 t + 10) (4 t + 8 + 0) - (2 t^{2} + 8 t + 55) \frac{d}{d t} [t^{2} + 4 t + 10]}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 3.9

将 $4 t + 8$ 和 $0$ 相加。

$10 \frac{(t^{2} + 4 t + 10) (4 t + 8) - (2 t^{2} + 8 t + 55) \frac{d}{d t} [t^{2} + 4 t + 10]}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 3.10

根据加法法则， $t^{2} + 4 t + 10$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [10]$ 。

$10 \frac{(t^{2} + 4 t + 10) (4 t + 8) - (2 t^{2} + 8 t + 55) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [10])}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$10 \frac{(t^{2} + 4 t + 10) (4 t + 8) - (2 t^{2} + 8 t + 55) (2 t + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [10])}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 3.12

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $4 t$ 对 $t$ 的导数是 $4 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$10 \frac{(t^{2} + 4 t + 10) (4 t + 8) - (2 t^{2} + 8 t + 55) (2 t + 4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [10])}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 3.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$10 \frac{(t^{2} + 4 t + 10) (4 t + 8) - (2 t^{2} + 8 t + 55) (2 t + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [10])}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 3.14

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$10 \frac{(t^{2} + 4 t + 10) (4 t + 8) - (2 t^{2} + 8 t + 55) (2 t + 4 + \frac{d}{d t} [10])}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 3.15

因为 $10$ 对于 $t$ 是常数，所以 $10$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$10 \frac{(t^{2} + 4 t + 10) (4 t + 8) - (2 t^{2} + 8 t + 55) (2 t + 4 + 0)}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 3.16

合并分数。

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解题步骤 3.16.1

将 $2 t + 4$ 和 $0$ 相加。

$10 \frac{(t^{2} + 4 t + 10) (4 t + 8) - (2 t^{2} + 8 t + 55) (2 t + 4)}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 3.16.2

组合 $10$ 和 $\frac{(t^{2} + 4 t + 10) (4 t + 8) - (2 t^{2} + 8 t + 55) (2 t + 4)}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$ 。

$\frac{10 ((t^{2} + 4 t + 10) (4 t + 8) - (2 t^{2} + 8 t + 55) (2 t + 4))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{10 ((t^{2} + 4 t + 10) (4 t + 8) + (- (2 t^{2}) - (8 t) - 1 \cdot 55) (2 t + 4))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{10 ((t^{2} + 4 t + 10) (4 t + 8)) + 10 ((- (2 t^{2}) - (8 t) - 1 \cdot 55) (2 t + 4))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3

化简分子。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(t^{2} + 4 t + 10) (4 t + 8)$ 。

$\frac{10 (t^{2} (4 t) + t^{2} \cdot 8 + 4 t (4 t) + 4 t \cdot 8 + 10 (4 t) + 10 \cdot 8) + 10 ((- (2 t^{2}) - (8 t) - 1 \cdot 55) (2 t + 4))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{10 (4 t^{2} t + t^{2} \cdot 8 + 4 t (4 t) + 4 t \cdot 8 + 10 (4 t) + 10 \cdot 8) + 10 ((- (2 t^{2}) - (8 t) - 1 \cdot 55) (2 t + 4))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2.2

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 4.3.1.2.2.1

移动 $t$ 。

$\frac{10 (4 (t \cdot t^{2}) + t^{2} \cdot 8 + 4 t (4 t) + 4 t \cdot 8 + 10 (4 t) + 10 \cdot 8) + 10 ((- (2 t^{2}) - (8 t) - 1 \cdot 55) (2 t + 4))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2.2.2

将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.1.2.2.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{10 (4 (t^{1} t^{2}) + t^{2} \cdot 8 + 4 t (4 t) + 4 t \cdot 8 + 10 (4 t) + 10 \cdot 8) + 10 ((- (2 t^{2}) - (8 t) - 1 \cdot 55) (2 t + 4))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{10 (4 t^{1 + 2} + t^{2} \cdot 8 + 4 t (4 t) + 4 t \cdot 8 + 10 (4 t) + 10 \cdot 8) + 10 ((- (2 t^{2}) - (8 t) - 1 \cdot 55) (2 t + 4))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{10 (4 t^{3} + t^{2} \cdot 8 + 4 t (4 t) + 4 t \cdot 8 + 10 (4 t) + 10 \cdot 8) + 10 ((- (2 t^{2}) - (8 t) - 1 \cdot 55) (2 t + 4))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2.3

将 $8$ 移到 $t^{2}$ 的左侧。

$\frac{10 (4 t^{3} + 8 \cdot t^{2} + 4 t (4 t) + 4 t \cdot 8 + 10 (4 t) + 10 \cdot 8) + 10 ((- (2 t^{2}) - (8 t) - 1 \cdot 55) (2 t + 4))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{10 (4 t^{3} + 8 t^{2} + 4 \cdot 4 t \cdot t + 4 t \cdot 8 + 10 (4 t) + 10 \cdot 8) + 10 ((- (2 t^{2}) - (8 t) - 1 \cdot 55) (2 t + 4))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2.5

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 4.3.1.2.5.1

移动 $t$ 。

$\frac{10 (4 t^{3} + 8 t^{2} + 4 \cdot 4 (t \cdot t) + 4 t \cdot 8 + 10 (4 t) + 10 \cdot 8) + 10 ((- (2 t^{2}) - (8 t) - 1 \cdot 55) (2 t + 4))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2.5.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$\frac{10 (4 t^{3} + 8 t^{2} + 4 \cdot 4 t^{2} + 4 t \cdot 8 + 10 (4 t) + 10 \cdot 8) + 10 ((- (2 t^{2}) - (8 t) - 1 \cdot 55) (2 t + 4))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2.6

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{10 (4 t^{3} + 8 t^{2} + 16 t^{2} + 4 t \cdot 8 + 10 (4 t) + 10 \cdot 8) + 10 ((- (2 t^{2}) - (8 t) - 1 \cdot 55) (2 t + 4))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2.7

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$\frac{10 (4 t^{3} + 8 t^{2} + 16 t^{2} + 32 t + 10 (4 t) + 10 \cdot 8) + 10 ((- (2 t^{2}) - (8 t) - 1 \cdot 55) (2 t + 4))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2.8

将 $4$ 乘以 $10$ 。

$\frac{10 (4 t^{3} + 8 t^{2} + 16 t^{2} + 32 t + 40 t + 10 \cdot 8) + 10 ((- (2 t^{2}) - (8 t) - 1 \cdot 55) (2 t + 4))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2.9

将 $10$ 乘以 $8$ 。

$\frac{10 (4 t^{3} + 8 t^{2} + 16 t^{2} + 32 t + 40 t + 80) + 10 ((- (2 t^{2}) - (8 t) - 1 \cdot 55) (2 t + 4))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.3

将 $8 t^{2}$ 和 $16 t^{2}$ 相加。

$\frac{10 (4 t^{3} + 24 t^{2} + 32 t + 40 t + 80) + 10 ((- (2 t^{2}) - (8 t) - 1 \cdot 55) (2 t + 4))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.4

将 $32 t$ 和 $40 t$ 相加。

$\frac{10 (4 t^{3} + 24 t^{2} + 72 t + 80) + 10 ((- (2 t^{2}) - (8 t) - 1 \cdot 55) (2 t + 4))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.5

运用分配律。

$\frac{10 (4 t^{3}) + 10 (24 t^{2}) + 10 (72 t) + 10 \cdot 80 + 10 ((- (2 t^{2}) - (8 t) - 1 \cdot 55) (2 t + 4))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.6

化简。

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解题步骤 4.3.1.6.1

将 $4$ 乘以 $10$ 。

$\frac{40 t^{3} + 10 (24 t^{2}) + 10 (72 t) + 10 \cdot 80 + 10 ((- (2 t^{2}) - (8 t) - 1 \cdot 55) (2 t + 4))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.6.2

将 $24$ 乘以 $10$ 。

$\frac{40 t^{3} + 240 t^{2} + 10 (72 t) + 10 \cdot 80 + 10 ((- (2 t^{2}) - (8 t) - 1 \cdot 55) (2 t + 4))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.6.3

将 $72$ 乘以 $10$ 。

$\frac{40 t^{3} + 240 t^{2} + 720 t + 10 \cdot 80 + 10 ((- (2 t^{2}) - (8 t) - 1 \cdot 55) (2 t + 4))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.6.4

将 $10$ 乘以 $80$ 。

$\frac{40 t^{3} + 240 t^{2} + 720 t + 800 + 10 ((- (2 t^{2}) - (8 t) - 1 \cdot 55) (2 t + 4))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.7

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.7.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{40 t^{3} + 240 t^{2} + 720 t + 800 + 10 ((- 2 t^{2} - (8 t) - 1 \cdot 55) (2 t + 4))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.7.2

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{40 t^{3} + 240 t^{2} + 720 t + 800 + 10 ((- 2 t^{2} - 8 t - 1 \cdot 55) (2 t + 4))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.7.3

将 $- 1$ 乘以 $55$ 。

$\frac{40 t^{3} + 240 t^{2} + 720 t + 800 + 10 ((- 2 t^{2} - 8 t - 55) (2 t + 4))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.8

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- 2 t^{2} - 8 t - 55) (2 t + 4)$ 。

$\frac{40 t^{3} + 240 t^{2} + 720 t + 800 + 10 (- 2 t^{2} (2 t) - 2 t^{2} \cdot 4 - 8 t (2 t) - 8 t \cdot 4 - 55 (2 t) - 55 \cdot 4)}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.9

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.9.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{40 t^{3} + 240 t^{2} + 720 t + 800 + 10 (- 2 \cdot 2 t^{2} t - 2 t^{2} \cdot 4 - 8 t (2 t) - 8 t \cdot 4 - 55 (2 t) - 55 \cdot 4)}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.9.2

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 4.3.1.9.2.1

移动 $t$ 。

$\frac{40 t^{3} + 240 t^{2} + 720 t + 800 + 10 (- 2 \cdot 2 (t \cdot t^{2}) - 2 t^{2} \cdot 4 - 8 t (2 t) - 8 t \cdot 4 - 55 (2 t) - 55 \cdot 4)}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.9.2.2

将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.1.9.2.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{40 t^{3} + 240 t^{2} + 720 t + 800 + 10 (- 2 \cdot 2 (t^{1} t^{2}) - 2 t^{2} \cdot 4 - 8 t (2 t) - 8 t \cdot 4 - 55 (2 t) - 55 \cdot 4)}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.9.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{40 t^{3} + 240 t^{2} + 720 t + 800 + 10 (- 2 \cdot 2 t^{1 + 2} - 2 t^{2} \cdot 4 - 8 t (2 t) - 8 t \cdot 4 - 55 (2 t) - 55 \cdot 4)}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.9.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{40 t^{3} + 240 t^{2} + 720 t + 800 + 10 (- 2 \cdot 2 t^{3} - 2 t^{2} \cdot 4 - 8 t (2 t) - 8 t \cdot 4 - 55 (2 t) - 55 \cdot 4)}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.9.3

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{40 t^{3} + 240 t^{2} + 720 t + 800 + 10 (- 4 t^{3} - 2 t^{2} \cdot 4 - 8 t (2 t) - 8 t \cdot 4 - 55 (2 t) - 55 \cdot 4)}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.9.4

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{40 t^{3} + 240 t^{2} + 720 t + 800 + 10 (- 4 t^{3} - 8 t^{2} - 8 t (2 t) - 8 t \cdot 4 - 55 (2 t) - 55 \cdot 4)}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.9.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{40 t^{3} + 240 t^{2} + 720 t + 800 + 10 (- 4 t^{3} - 8 t^{2} - 8 \cdot 2 t \cdot t - 8 t \cdot 4 - 55 (2 t) - 55 \cdot 4)}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.9.6

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 4.3.1.9.6.1

移动 $t$ 。

$\frac{40 t^{3} + 240 t^{2} + 720 t + 800 + 10 (- 4 t^{3} - 8 t^{2} - 8 \cdot 2 (t \cdot t) - 8 t \cdot 4 - 55 (2 t) - 55 \cdot 4)}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.9.6.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$\frac{40 t^{3} + 240 t^{2} + 720 t + 800 + 10 (- 4 t^{3} - 8 t^{2} - 8 \cdot 2 t^{2} - 8 t \cdot 4 - 55 (2 t) - 55 \cdot 4)}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.9.7

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$\frac{40 t^{3} + 240 t^{2} + 720 t + 800 + 10 (- 4 t^{3} - 8 t^{2} - 16 t^{2} - 8 t \cdot 4 - 55 (2 t) - 55 \cdot 4)}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.9.8

将 $4$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{40 t^{3} + 240 t^{2} + 720 t + 800 + 10 (- 4 t^{3} - 8 t^{2} - 16 t^{2} - 32 t - 55 (2 t) - 55 \cdot 4)}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.9.9

将 $2$ 乘以 $- 55$ 。

$\frac{40 t^{3} + 240 t^{2} + 720 t + 800 + 10 (- 4 t^{3} - 8 t^{2} - 16 t^{2} - 32 t - 110 t - 55 \cdot 4)}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.9.10

将 $- 55$ 乘以 $4$ 。

$\frac{40 t^{3} + 240 t^{2} + 720 t + 800 + 10 (- 4 t^{3} - 8 t^{2} - 16 t^{2} - 32 t - 110 t - 220)}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.10

从 $- 8 t^{2}$ 中减去 $16 t^{2}$ 。

$\frac{40 t^{3} + 240 t^{2} + 720 t + 800 + 10 (- 4 t^{3} - 24 t^{2} - 32 t - 110 t - 220)}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.11

从 $- 32 t$ 中减去 $110 t$ 。

$\frac{40 t^{3} + 240 t^{2} + 720 t + 800 + 10 (- 4 t^{3} - 24 t^{2} - 142 t - 220)}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.12

运用分配律。

$\frac{40 t^{3} + 240 t^{2} + 720 t + 800 + 10 (- 4 t^{3}) + 10 (- 24 t^{2}) + 10 (- 142 t) + 10 \cdot - 220}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.13

化简。

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解题步骤 4.3.1.13.1

将 $- 4$ 乘以 $10$ 。

$\frac{40 t^{3} + 240 t^{2} + 720 t + 800 - 40 t^{3} + 10 (- 24 t^{2}) + 10 (- 142 t) + 10 \cdot - 220}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.13.2

将 $- 24$ 乘以 $10$ 。

$\frac{40 t^{3} + 240 t^{2} + 720 t + 800 - 40 t^{3} - 240 t^{2} + 10 (- 142 t) + 10 \cdot - 220}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.13.3

将 $- 142$ 乘以 $10$ 。

$\frac{40 t^{3} + 240 t^{2} + 720 t + 800 - 40 t^{3} - 240 t^{2} - 1420 t + 10 \cdot - 220}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.13.4

将 $10$ 乘以 $- 220$ 。

$\frac{40 t^{3} + 240 t^{2} + 720 t + 800 - 40 t^{3} - 240 t^{2} - 1420 t - 2200}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

合并 $40 t^{3} + 240 t^{2} + 720 t + 800 - 40 t^{3} - 240 t^{2} - 1420 t - 2200$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $40 t^{3}$ 中减去 $40 t^{3}$ 。

$\frac{240 t^{2} + 720 t + 800 + 0 - 240 t^{2} - 1420 t - 2200}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $240 t^{2} + 720 t + 800$ 和 $0$ 相加。

$\frac{240 t^{2} + 720 t + 800 - 240 t^{2} - 1420 t - 2200}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2.3

从 $240 t^{2}$ 中减去 $240 t^{2}$ 。

$\frac{720 t + 800 + 0 - 1420 t - 2200}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2.4

将 $720 t + 800$ 和 $0$ 相加。

$\frac{720 t + 800 - 1420 t - 2200}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.3

从 $720 t$ 中减去 $1420 t$ 。

$\frac{- 700 t + 800 - 2200}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.3.4

从 $800$ 中减去 $2200$ 。

$\frac{- 700 t - 1400}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.4

从 $- 700 t - 1400$ 中分解出因数 $700$ 。

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解题步骤 4.4.1

从 $- 700 t$ 中分解出因数 $700$ 。

$\frac{700 (- t) - 1400}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.4.2

从 $- 1400$ 中分解出因数 $700$ 。

$\frac{700 (- t) + 700 (- 2)}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.4.3

从 $700 (- t) + 700 (- 2)$ 中分解出因数 $700$ 。

$\frac{700 (- t - 2)}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.5

从 $- t$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{700 (- (t) - 2)}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.6

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$\frac{700 (- (t) - 1 (2))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.7

从 $- (t) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{700 (- (t + 2))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.8

将 $- (t + 2)$ 重写为 $- 1 (t + 2)$ 。

$\frac{700 (- 1 (t + 2))}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

解题步骤 4.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{700 (t + 2)}{{(t^{2} + 4 t + 10)}^{2}}$

微积分学 示例

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