微积分学示例

$f (t) = \frac{\sqrt{2 t + 1}}{{(t + 1)}^{3}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 t + 1}$ 重写成 ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d t} [\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(t + 1)}^{3}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (t) = {(t + 1)}^{3}$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}] - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{({(t + 1)}^{3})}^{2}}$

解题步骤 3

将 ${({(t + 1)}^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}] - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{3 \cdot 2}}$

解题步骤 3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}] - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (t) = 2 t + 1$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 t + 1$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [2 t + 1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 4.3

使用 $2 t + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$\frac{{(t + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 9

合并分数。

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解题步骤 9.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{{(t + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 t + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 9.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(2 t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{3} (\frac{{(2 t + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 9.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(2 t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{{(t + 1)}^{3} (\frac{1}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 9.4

组合 $\frac{1}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 ${(t + 1)}^{3}$ 。

$\frac{\frac{{(t + 1)}^{3}}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [2 t + 1] - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 10

根据加法法则， $2 t + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$\frac{\frac{{(t + 1)}^{3}}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 11

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{\frac{{(t + 1)}^{3}}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\frac{{(t + 1)}^{3}}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 13

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{{(t + 1)}^{3}}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d t} [1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 14

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\frac{{(t + 1)}^{3}}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 15

化简项。

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解题步骤 15.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{{(t + 1)}^{3}}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 15.2

组合 $\frac{{(t + 1)}^{3}}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $2$ 。

$\frac{\frac{{(t + 1)}^{3} \cdot 2}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 15.3

将 $2$ 移到 ${(t + 1)}^{3}$ 的左侧。

$\frac{\frac{2 \cdot {(t + 1)}^{3}}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 15.4

约去公因数。

$\frac{\frac{2 {(t + 1)}^{3}}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 15.5

重写表达式。

$\frac{\frac{{(t + 1)}^{3}}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 16

将 $\frac{\frac{{(t + 1)}^{3}}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$ 乘以 $\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{{(t + 1)}^{3}}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 17

合并。

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{{(t + 1)}^{3}}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}])}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 18

运用分配律。

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{{(t + 1)}^{3}}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}])}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 19

约去 ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 19.1

约去公因数。

解题步骤 19.2

重写表达式。

$\frac{{(t + 1)}^{3} + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}])}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 20

通过指数相加将 ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 20.1

移动 ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{3} + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}])}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 20.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(t + 1)}^{3} + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (- \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}])}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 20.3

在公分母上合并分子。

$\frac{{(t + 1)}^{3} + {(2 t + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} (- \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}])}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 20.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(t + 1)}^{3} + {(2 t + 1)}^{\frac{2}{2}} (- \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}])}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 20.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{3} + {(2 t + 1)}^{1} (- \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}])}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 21

化简 ${(2 t + 1)}^{1} (- \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}])$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{3} + (2 t + 1) (- \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}])}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 22

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{3}$ 且 $g (t) = t + 1$ 。

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解题步骤 22.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $t + 1$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{3} + (2 t + 1) (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d t} [t + 1]))}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 22.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{3} + (2 t + 1) (- (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d t} [t + 1]))}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 22.3

使用 $t + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{3} + (2 t + 1) (- (3 {(t + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t + 1]))}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 23

求微分。

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解题步骤 23.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{3} + (2 t + 1) (- 3 ({(t + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t + 1]))}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 23.2

根据加法法则， $t + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{3} + (2 t + 1) (- 3 {(t + 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]))}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 23.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{3} + (2 t + 1) (- 3 {(t + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d t} [1]))}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 23.4

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{3} + (2 t + 1) (- 3 {(t + 1)}^{2} (1 + 0))}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 23.5

化简表达式。

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解题步骤 23.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(t + 1)}^{3} + (2 t + 1) (- 3 {(t + 1)}^{2} \cdot 1)}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 23.5.2

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{3} + (2 t + 1) (- 3 {(t + 1)}^{2})}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 24

化简。

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解题步骤 24.1

化简分子。

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解题步骤 24.1.1

从 ${(t + 1)}^{3} + (2 t + 1) (- 3 {(t + 1)}^{2})$ 中分解出因数 ${(t + 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 24.1.1.1

从 ${(t + 1)}^{3}$ 中分解出因数 ${(t + 1)}^{2}$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{2} (t + 1) + (2 t + 1) (- 3 {(t + 1)}^{2})}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 24.1.1.2

从 $(2 t + 1) (- 3 {(t + 1)}^{2})$ 中分解出因数 ${(t + 1)}^{2}$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{2} (t + 1) + {(t + 1)}^{2} ((2 t + 1) \cdot (- 3))}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 24.1.1.3

从 ${(t + 1)}^{2} (t + 1) + {(t + 1)}^{2} ((2 t + 1) \cdot (- 3))$ 中分解出因数 ${(t + 1)}^{2}$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{2} (t + 1 + (2 t + 1) \cdot (- 3))}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 24.1.2

运用分配律。

$\frac{{(t + 1)}^{2} (t + 1 + 2 t \cdot - 3 + 1 \cdot - 3)}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 24.1.3

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{2} (t + 1 - 6 t + 1 \cdot - 3)}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 24.1.4

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{2} (t + 1 - 6 t - 3)}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 24.1.5

从 $t$ 中减去 $6 t$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{2} (- 5 t + 1 - 3)}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 24.1.6

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{2} (- 5 t - 2)}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

解题步骤 24.2

约去公因数。

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解题步骤 24.2.1

从 ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}$ 中分解出因数 ${(t + 1)}^{2}$ 。

$\frac{{(t + 1)}^{2} (- 5 t - 2)}{{(t + 1)}^{2} ({(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{4})}$

解题步骤 24.2.2

约去公因数。

$\frac{{(t + 1)}^{2} (- 5 t - 2)}{{(t + 1)}^{2} ({(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{4})}$

解题步骤 24.2.3

重写表达式。

$\frac{- 5 t - 2}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{4}}$

解题步骤 24.3

从 $- 5 t$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (5 t) - 2}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{4}}$

解题步骤 24.4

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$\frac{- (5 t) - 1 (2)}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{4}}$

解题步骤 24.5

从 $- (5 t) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (5 t + 2)}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{4}}$

解题步骤 24.6

将 $- (5 t + 2)$ 重写为 $- 1 (5 t + 2)$ 。

$\frac{- 1 (5 t + 2)}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{4}}$

解题步骤 24.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5 t + 2}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{4}}$

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