微积分学示例

$f (x) = (\sqrt{x}) (\sqrt[3]{x})$

解题步骤 1

使用 $6$ 的最小常见指标重写表达式。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{x}]$

解题步骤 1.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $x^{\frac{3}{6}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{x}]$

解题步骤 1.3

将 $x^{\frac{3}{6}}$ 重写为 $\sqrt[6]{x^{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3}} \sqrt[3]{x}]$

解题步骤 1.4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3}} x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.5

将 $x^{\frac{1}{3}}$ 重写为 $x^{\frac{2}{6}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3}} x^{\frac{2}{6}}]$

解题步骤 1.6

将 $x^{\frac{2}{6}}$ 重写为 $\sqrt[6]{x^{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3}} \sqrt[6]{x^{2}}]$

解题步骤 2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3} x^{2}}]$

解题步骤 3

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3 + 2}}]$

解题步骤 3.2

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{5}}]$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[6]{x^{5}}$ 重写成 $x^{\frac{5}{6}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{6}}]$

解题步骤 5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{6}$ 。

$\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1}$

解题步骤 6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}}$

解题步骤 7

组合 $- 1$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}}$

解题步骤 8

在公分母上合并分子。

$\frac{5}{6} x^{\frac{5 - 1 \cdot 6}{6}}$

解题步骤 9

化简分子。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{5}{6} x^{\frac{5 - 6}{6}}$

解题步骤 9.2

从 $5$ 中减去 $6$ 。

$\frac{5}{6} x^{\frac{- 1}{6}}$

解题步骤 10

将负号移到分数的前面。

$\frac{5}{6} x^{- \frac{1}{6}}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}$

解题步骤 11.2

将 $\frac{5}{6}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}$ 。

$\frac{5}{6 x^{\frac{1}{6}}}$

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