微积分学示例

$f (x) = (x^{3} + 2 x) e^{x}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3} + 2 x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$(x^{3} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x]$

解题步骤 2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{3} + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + 2 \cdot 1)$

解题步骤 3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + 2)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$x^{3} e^{x} + 2 x e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + 2)$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$x^{3} e^{x} + 2 x e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + e^{x} \cdot 2$

解题步骤 4.3

将 $2$ 移到 $e^{x}$ 的左侧。

$x^{3} e^{x} + 2 x e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 2 e^{x}$

解题步骤 4.4

重新排序项。

$e^{x} x^{3} + 2 e^{x} x + 3 e^{x} x^{2} + 2 e^{x}$

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