微积分学示例

$f (x) = (9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 9 x^{5} - 6 x^{- 2}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [9 x^{5} - 6 x^{- 2}]$

解题步骤 2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [9 x^{5} - 6 x^{- 2}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $9 x^{5} - 6 x^{- 2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{- 2}]$ 。

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\frac{d}{d x} [9 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{- 2}])$

解题步骤 3.2

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (9 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{- 2}])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (9 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{- 2}])$

解题步骤 3.4

将 $5$ 乘以 $9$ 。

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{- 2}])$

解题步骤 3.5

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x^{- 2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ 。

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} - 6 \frac{d}{d x} [x^{- 2}])$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} - 6 (- 2 x^{- 3}))$

解题步骤 3.7

将 $- 2$ 乘以 $- 6$ 。

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} + 12 x^{- 3})$

解题步骤 4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(9 x^{5} - 6 \frac{1}{x^{2}}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} + 12 x^{- 3})$

解题步骤 5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(9 x^{5} - 6 \frac{1}{x^{2}}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} + 12 \frac{1}{x^{3}})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$(9 x^{5} \sec (x) - 6 \frac{1}{x^{2}} \sec (x)) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} + 12 \frac{1}{x^{3}})$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - 6 \frac{1}{x^{2}} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} + 12 \frac{1}{x^{3}})$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - 6 \frac{1}{x^{2}} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) (12 \frac{1}{x^{3}})$

解题步骤 6.4

合并项。

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解题步骤 6.4.1

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) + \frac{- 6}{x^{2}} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) (12 \frac{1}{x^{3}})$

解题步骤 6.4.2

将负号移到分数的前面。

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{6}{x^{2}} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) (12 \frac{1}{x^{3}})$

解题步骤 6.4.3

组合 $\sec (x)$ 和 $\frac{6}{x^{2}}$ 。

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{\sec (x) \cdot 6}{x^{2}} \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) (12 \frac{1}{x^{3}})$

解题步骤 6.4.4

将 $6$ 移到 $\sec (x)$ 的左侧。

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{6 \cdot \sec (x)}{x^{2}} \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) (12 \frac{1}{x^{3}})$

解题步骤 6.4.5

组合 $\tan (x)$ 和 $\frac{6 \sec (x)}{x^{2}}$ 。

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{\tan (x) (6 \sec (x))}{x^{2}} + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) (12 \frac{1}{x^{3}})$

解题步骤 6.4.6

将 $6$ 移到 $\tan (x)$ 的左侧。

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{6 \cdot \tan (x) \sec (x)}{x^{2}} + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) (12 \frac{1}{x^{3}})$

解题步骤 6.4.7

组合 $12$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{6 \tan (x) \sec (x)}{x^{2}} + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) \frac{12}{x^{3}}$

解题步骤 6.4.8

组合 $\sec (x)$ 和 $\frac{12}{x^{3}}$ 。

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{6 \tan (x) \sec (x)}{x^{2}} + \sec (x) (45 x^{4}) + \frac{\sec (x) \cdot 12}{x^{3}}$

解题步骤 6.4.9

将 $12$ 移到 $\sec (x)$ 的左侧。

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{6 \tan (x) \sec (x)}{x^{2}} + \sec (x) (45 x^{4}) + \frac{12 \sec (x)}{x^{3}}$

解题步骤 6.5

重新排序项。

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) + 45 x^{4} \sec (x) - \frac{6 \tan (x) \sec (x)}{x^{2}} + \frac{12 \sec (x)}{x^{3}}$

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