微积分学示例

$f (x) = \frac{\tan (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 1

将 $\frac{\tan (x)}{\sin (x)}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 2.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 2.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 2.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.7

合并答案。

$x = π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

将 $\tan (x)$ 的自变量设为等于 $\frac{π}{2} + π n$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

集合符号：

${x | x \neq π n, x \neq \frac{π}{2} + π n}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${y | y \in ℝ}$

解题步骤 6

确定定义域和值域。

定义域： ${x | x \neq π n, x \neq \frac{π}{2} + π n}$ ，对于任意整数 $n$

值域： $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

解题步骤 7

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