微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{\csc^{5} (x)}$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{1}{\csc^{5} (x)}$ 重写为 ${(\csc^{5} (x))}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(\csc^{5} (x))}^{- 1}]$

解题步骤 1.2

将 ${(\csc^{5} (x))}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [{\csc (x)}^{5 \cdot - 1}]$

解题步骤 1.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [\csc^{- 5} (x)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 5}$ 且 $g (x) = \csc (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\csc (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 5}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 5$ 。

$- 5 u^{- 6} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

解题步骤 2.3

使用 $\csc (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 5 \csc^{- 6} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

解题步骤 3

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$- 5 \csc^{- 6} (x) (- \csc (x) \cot (x))$

解题步骤 4

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$5 \csc^{- 6} (x) (\csc (x) \cot (x))$

解题步骤 5

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 (\csc^{1} (x) \csc^{- 6} (x)) \cot (x)$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 {\csc (x)}^{1 - 6} \cot (x)$

解题步骤 7

从 $1$ 中减去 $6$ 。

$5 \csc^{- 5} (x) \cot (x)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$5 \frac{1}{\csc^{5} (x)} \cot (x)$

解题步骤 8.2

合并项。

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解题步骤 8.2.1

组合 $5$ 和 $\frac{1}{\csc^{5} (x)}$ 。

$\frac{5}{\csc^{5} (x)} \cot (x)$

解题步骤 8.2.2

组合 $\frac{5}{\csc^{5} (x)}$ 和 $\cot (x)$ 。

$\frac{5 \cot (x)}{\csc^{5} (x)}$

解题步骤 8.3

从 $\csc^{5} (x)$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\frac{5 \cot (x)}{\csc (x) \csc^{4} (x)}$

解题步骤 8.4

分离分数。

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cdot \frac{\cot (x)}{\csc (x)}$

解题步骤 8.5

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cdot \frac{\cot (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

解题步骤 8.6

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}}$

解题步骤 8.7

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x))$

解题步骤 8.8

将 $\sin (x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1})$

解题步骤 8.9

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 8.9.1

约去公因数。

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1})$

解题步骤 8.9.2

重写表达式。

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cos (x)$

解题步骤 8.10

组合 $\frac{5}{\csc^{4} (x)}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\frac{5 \cos (x)}{\csc^{4} (x)}$

解题步骤 8.11

从 $\csc^{4} (x)$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\frac{5 \cos (x)}{\csc (x) \csc^{3} (x)}$

解题步骤 8.12

分离分数。

$\frac{5}{\csc^{3} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\csc (x)}$

解题步骤 8.13

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{5}{\csc^{3} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

解题步骤 8.14

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$\frac{5}{\csc^{3} (x)} (\cos (x) \sin (x))$

解题步骤 8.15

乘以 $\frac{5}{\csc^{3} (x)} (\cos (x) \sin (x))$ 。

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解题步骤 8.15.1

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{5}{\csc^{3} (x)}$ 。

$\frac{\cos (x) \cdot 5}{\csc^{3} (x)} \sin (x)$

解题步骤 8.15.2

组合 $\frac{\cos (x) \cdot 5}{\csc^{3} (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$\frac{\cos (x) \cdot 5 \sin (x)}{\csc^{3} (x)}$

解题步骤 8.16

从 $\csc^{3} (x)$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\frac{\cos (x) \cdot 5 \sin (x)}{\csc (x) \csc^{2} (x)}$

解题步骤 8.17

分离分数。

$\frac{5 \sin (x)}{\csc^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\csc (x)}$

解题步骤 8.18

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{5 \sin (x)}{\csc^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

解题步骤 8.19

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$\frac{5 \sin (x)}{\csc^{2} (x)} (\cos (x) \sin (x))$

解题步骤 8.20

从 $\csc^{2} (x)$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\frac{5 \sin (x)}{\csc (x) \csc (x)} (\cos (x) \sin (x))$

解题步骤 8.21

分离分数。

$\frac{5}{\csc (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\csc (x)} (\cos (x) \sin (x))$

解题步骤 8.22

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{5}{\csc (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)}} (\cos (x) \sin (x))$

解题步骤 8.23

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin (x) \sin (x)) (\cos (x) \sin (x))$

解题步骤 8.24

化简。

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解题步骤 8.24.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin^{1} (x) \sin (x)) (\cos (x) \sin (x))$

解题步骤 8.24.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) (\cos (x) \sin (x))$

解题步骤 8.24.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5}{\csc (x)} {\sin (x)}^{1 + 1} (\cos (x) \sin (x))$

解题步骤 8.24.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{5}{\csc (x)} \sin^{2} (x) (\cos (x) \sin (x))$

解题步骤 8.25

通过指数相加将 $\sin^{2} (x)$ 乘以 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 8.25.1

移动 $\sin (x)$ 。

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin (x) \sin^{2} (x)) \cos (x)$

解题步骤 8.25.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $\sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 8.25.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x)) \cos (x)$

解题步骤 8.25.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5}{\csc (x)} {\sin (x)}^{1 + 2} \cos (x)$

解题步骤 8.25.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{5}{\csc (x)} \sin^{3} (x) \cos (x)$

解题步骤 8.26

分离分数。

$\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\csc (x)} \sin^{3} (x) \cos (x)$

解题步骤 8.27

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}} \sin^{3} (x) \cos (x)$

解题步骤 8.28

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$\frac{5}{1} (1 \sin (x)) \sin^{3} (x) \cos (x)$

解题步骤 8.29

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5}{1} \sin (x) \sin^{3} (x) \cos (x)$

解题步骤 8.30

通过指数相加将 $\sin (x)$ 乘以 $\sin^{3} (x)$ 。

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解题步骤 8.30.1

移动 $\sin^{3} (x)$ 。

$\frac{5}{1} (\sin^{3} (x) \sin (x)) \cos (x)$

解题步骤 8.30.2

将 $\sin^{3} (x)$ 乘以 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 8.30.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{5}{1} (\sin^{3} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)$

解题步骤 8.30.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5}{1} {\sin (x)}^{3 + 1} \cos (x)$

解题步骤 8.30.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{5}{1} \sin^{4} (x) \cos (x)$

解题步骤 8.31

用 $5$ 除以 $1$ 。

$5 \sin^{4} (x) \cos (x)$

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