微积分学示例

$f (x) = - \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 。

$- \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.2

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3} \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{3}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{3}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{3}$ 。

$- (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$- (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 7.2

从 $- 1$ 中减去 $3$ 。

$- (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$- (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 8.2

组合 $x^{- \frac{4}{3}}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- - \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 8.3

化简表达式。

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解题步骤 8.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 8.3.2

将 $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 8.3.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{4}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 10

化简表达式。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + 0$

解题步骤 10.2

将 $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

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