微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2} + 11}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 11}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 11$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11] - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11] - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11] - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11] - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

解题步骤 4

化简。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11] - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 5

根据加法法则， $x^{2} + 11$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]) - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [11]) - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 7

因为 $11$ 对于 $x$ 是常数，所以 $11$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 0) - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 8

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x) - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 9

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 9.1

移动 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 9.2

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 9.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 9.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 9.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 9.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 10

将 $2$ 移到 $x^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

解题步骤 12

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

解题步骤 13

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

解题步骤 14

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

解题步骤 15

化简分子。

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解题步骤 15.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

解题步骤 15.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

解题步骤 16

将负号移到分数的前面。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

解题步骤 17

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

解题步骤 18

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19

化简。

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解题步骤 19.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + (- x^{2} - 1 \cdot 11) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3

化简分子。

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解题步骤 19.3.1

化简每一项。

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解题步骤 19.3.1.1

约去 $x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 19.3.1.1.1

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.1.1.2

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.1.1.3

约去公因数。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.1.1.4

重写表达式。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.1.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $11$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.1.4

组合 $- 11$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.1.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.2

要将 $2 x^{\frac{3}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.3

组合 $2 x^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.5

化简每一项。

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解题步骤 19.3.5.1

化简分子。

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解题步骤 19.3.5.1.1

从 $2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 19.3.5.1.1.1

移动 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.5.1.1.2

从 $2 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2) - x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.5.1.1.3

从 $- x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2) + x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.5.1.1.4

从 $x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2) + x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1$ 中分解出因数 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2 - 1)}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.5.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (4 - 1)}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.5.1.3

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.5.2

将 $3$ 移到 $x^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.4

合并项。

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解题步骤 19.4.1

将 $\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.4.2

合并。

$\frac{2 (\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 19.4.3

运用分配律。

$\frac{2 \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 19.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.4.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 19.4.4.2

重写表达式。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + 2 (- \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 19.4.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} - 2 \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 19.4.6

组合 $- 2$ 和 $\frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 \cdot 11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 19.4.7

将 $- 2$ 乘以 $11$ 。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 22}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 19.4.8

从 $- 22$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 19.4.9

约去公因数。

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解题步骤 19.4.9.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 11}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x}$

解题步骤 19.4.9.2

约去公因数。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 19.4.9.3

重写表达式。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 19.4.10

将负号移到分数的前面。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} - \frac{11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 19.5

化简分子。

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解题步骤 19.5.1

要将 $3 x^{\frac{3}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 19.5.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 19.5.3

通过指数相加将 $x^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 19.5.3.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{3 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 19.5.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 19.5.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1 + 3}{2}} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 19.5.3.4

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{\frac{3 x^{\frac{4}{2}} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 19.5.3.5

用 $4$ 除以 $2$ 。

$\frac{\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 19.6

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

解题步骤 19.7

乘以 $\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$ 。

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解题步骤 19.7.1

将 $\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{2 x}$ 。

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

解题步骤 19.7.2

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 19.7.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{3 x^{2} - 11}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 19.7.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 19.7.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 19.7.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 19.7.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 19.7.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 19.7.2.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 19.8

将 $2$ 移到 $x^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$\frac{3 x^{2} - 11}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

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