微积分学示例

$f (x) = \frac{\sqrt{x} - e x + e^{2}}{\log (x)}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}}{\log (x)}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}$ 且 $g (x) = \log (x)$ 。

$\frac{\log (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}] - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- e x] + \frac{d}{d x} [e^{2}]$ 。

$\frac{\log (x) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- e x] + \frac{d}{d x} [e^{2}]) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{\log (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- e x] + \frac{d}{d x} [e^{2}]) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\log (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- e x] + \frac{d}{d x} [e^{2}]) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\log (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- e x] + \frac{d}{d x} [e^{2}]) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{\log (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- e x] + \frac{d}{d x} [e^{2}]) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\log (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- e x] + \frac{d}{d x} [e^{2}]) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{\log (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- e x] + \frac{d}{d x} [e^{2}]) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 8

求微分。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{\log (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- e x] + \frac{d}{d x} [e^{2}]) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 8.2

合并分数。

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解题步骤 8.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\log (x) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- e x] + \frac{d}{d x} [e^{2}]) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 8.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{\log (x) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- e x] + \frac{d}{d x} [e^{2}]) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 8.3

因为 $- e$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e x$ 对 $x$ 的导数是 $- e \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\log (x) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{2}]) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 8.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\log (x) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{2}]) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 8.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\log (x) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e + \frac{d}{d x} [e^{2}]) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 8.6

因为 $e^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $e^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\log (x) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e + 0) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 8.7

将 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\log (x) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 9

$\log (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x \ln (10)}$ 。

$\frac{\log (x) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$\frac{\log (x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 10.2

运用分配律。

$\frac{\log (x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) + (- x^{\frac{1}{2}} - (- e x) - e^{2}) \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 10.3

运用分配律。

$\frac{\log (x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x \ln (10)} - (- e x) \frac{1}{x \ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 10.4

化简分子。

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解题步骤 10.4.1

化简每一项。

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解题步骤 10.4.1.1

组合 $\log (x)$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x \ln (10)} - (- e x) \frac{1}{x \ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 10.4.1.2

组合 $\frac{1}{x \ln (10)}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x \ln (10)} - (- e x) \frac{1}{x \ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 10.4.1.3

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x \ln (10) x^{- \frac{1}{2}}} - (- e x) \frac{1}{x \ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 10.4.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 10.4.1.4.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{- \frac{1}{2}} x \ln (10)} - (- e x) \frac{1}{x \ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 10.4.1.4.2

将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 10.4.1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \ln (10)} - (- e x) \frac{1}{x \ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 10.4.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{- \frac{1}{2} + 1} \ln (10)} - (- e x) \frac{1}{x \ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 10.4.1.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \ln (10)} - (- e x) \frac{1}{x \ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 10.4.1.4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \ln (10)} - (- e x) \frac{1}{x \ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 10.4.1.4.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} - (- e x) \frac{1}{x \ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 10.4.1.5

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 10.4.1.5.1

从 $- (- e x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + x (- (- e)) \frac{1}{x \ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 10.4.1.5.2

从 $x \ln (10)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + x (- (- e)) \frac{1}{x (\ln (10))} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 10.4.1.5.3

约去公因数。

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + x (- (- e)) \frac{1}{x \ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 10.4.1.5.4

重写表达式。

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} - (- e) \frac{1}{\ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 10.4.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + 1 e \frac{1}{\ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 10.4.1.7

将 $e$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + e \frac{1}{\ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 10.4.1.8

组合 $e$ 和 $\frac{1}{\ln (10)}$ 。

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + \frac{e}{\ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 10.4.1.9

组合 $\frac{1}{x \ln (10)}$ 和 $e^{2}$ 。

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + \frac{e}{\ln (10)} - \frac{e^{2}}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 10.4.2

将 $\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + \frac{e}{\ln (10)} - \frac{e^{2}}{x \ln (10)}$ 中的因式重新排序。

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e \log (x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + \frac{e}{\ln (10)} - \frac{e^{2}}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5

合并项。

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解题步骤 10.5.1

将 $\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e \log (x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + \frac{e}{\ln (10)} - \frac{e^{2}}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$ 乘以 $\frac{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e \log (x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + \frac{e}{\ln (10)} - \frac{e^{2}}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.2

合并。

$\frac{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e \log (x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + \frac{e}{\ln (10)} - \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.3

运用分配律。

$\frac{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- e \log (x)) + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}) + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \frac{e}{\ln (10)} + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.4

约去 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 10.5.4.1

从 $2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (\ln (10)) \frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- e \log (x)) + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}) + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \frac{e}{\ln (10)} + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.4.2

约去公因数。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (10) \frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- e \log (x)) + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}) + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \frac{e}{\ln (10)} + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.4.3

重写表达式。

$\frac{\ln (10) \log (x) + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- e \log (x)) + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}) + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \frac{e}{\ln (10)} + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.5

约去 $\ln (10)$ 的公因数。

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解题步骤 10.5.5.1

从 $2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $\ln (10)$ 。

$\frac{\ln (10) \log (x) + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- e \log (x)) + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}) + \ln (10) (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{e}{\ln (10)} + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.5.2

约去公因数。

解题步骤 10.5.5.3

重写表达式。

$\frac{\ln (10) \log (x) + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- e \log (x)) + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}) + 2 x^{\frac{1}{2}} e + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}) + 2 x^{\frac{1}{2}} e + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.7

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + 2 x^{\frac{1}{2}} e + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.8

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}$ 。

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) + \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + 2 x^{\frac{1}{2}} e + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.9

组合 $\ln (10)$ 和 $\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}$ 。

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) + x^{\frac{1}{2}} \frac{\ln (10) \cdot - 2}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + 2 x^{\frac{1}{2}} e + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.10

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{\ln (10) \cdot - 2}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}$ 。

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (10) \cdot - 2)}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + 2 x^{\frac{1}{2}} e + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.11

将 $- 2$ 移到 $\ln (10)$ 的左侧。

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 2 \cdot \ln (10))}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + 2 x^{\frac{1}{2}} e + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.12

约去公因数。

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 2 \ln (10))}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + 2 x^{\frac{1}{2}} e + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.13

重写表达式。

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) + \frac{- 2 \ln (10)}{\ln (10)} + 2 x^{\frac{1}{2}} e + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.14

约去 $\ln (10)$ 的公因数。

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解题步骤 10.5.14.1

约去公因数。

解题步骤 10.5.14.2

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.15

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \frac{e^{2}}{x \ln (10)}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.16

组合 $- 2$ 和 $\frac{e^{2}}{x \ln (10)}$ 。

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e + \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \frac{- 2 e^{2}}{x \ln (10)}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.17

组合 $\ln (10)$ 和 $\frac{- 2 e^{2}}{x \ln (10)}$ 。

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e + x^{\frac{1}{2}} \frac{\ln (10) (- 2 e^{2})}{x \ln (10)}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.18

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{\ln (10) (- 2 e^{2})}{x \ln (10)}$ 。

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (10) (- 2 e^{2}))}{x \ln (10)}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.19

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e + \frac{\ln (10) (- 2 e^{2})}{x \ln (10) x^{- \frac{1}{2}}}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.20

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 10.5.20.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e + \frac{\ln (10) (- 2 e^{2})}{x^{- \frac{1}{2}} x \ln (10)}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.20.2

将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 10.5.20.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e + \frac{\ln (10) (- 2 e^{2})}{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \ln (10)}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.20.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e + \frac{\ln (10) (- 2 e^{2})}{x^{- \frac{1}{2} + 1} \ln (10)}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.20.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e + \frac{\ln (10) (- 2 e^{2})}{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \ln (10)}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.20.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e + \frac{\ln (10) (- 2 e^{2})}{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \ln (10)}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.20.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e + \frac{\ln (10) (- 2 e^{2})}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.21

约去公因数。

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e + \frac{\ln (10) (- 2 e^{2})}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.22

重写表达式。

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e + \frac{- 2 e^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.5.23

将负号移到分数的前面。

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e - \frac{2 e^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

解题步骤 10.6

重新排序项。

$\frac{- \frac{2 e^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (10) \log (x) - 2 e x^{\frac{1}{2}} \ln (10) \log (x) + 2 e x^{\frac{1}{2}} - 2}{2 x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x) \ln (10)}$

微积分学 示例

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