微积分学示例

$f (x) = \frac{\sqrt{\ln (x)}}{x}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\ln (x)}$ 重写成 ${\ln (x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{{\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}{x}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{x \frac{d}{d x} [{\ln (x)}^{\frac{1}{2}}] - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\ln (x)$ 。

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.3

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${\ln (x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x (\frac{{\ln (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${\ln (x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{x (\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 8.4

组合 $\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{\frac{x}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 9

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\frac{x}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 10

化简项。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{x}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\frac{x}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 10.2

约去公因数。

$\frac{\frac{x}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 10.3

重写表达式。

$\frac{\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 11

将 $\frac{\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 12

合并。

$\frac{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 13

运用分配律。

$\frac{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} (- {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 14

约去 $2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 14.1

约去公因数。

$\frac{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} (- {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 14.2

重写表达式。

$\frac{1 + 2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} (- {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 15

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1 - 2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} ({\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1 - 2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 17

化简表达式。

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解题步骤 17.1

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - 2 {\ln (x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 17.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1 - 2 {\ln (x)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 18

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.1

约去公因数。

$\frac{1 - 2 {\ln (x)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 18.2

重写表达式。

$\frac{1 - 2 \ln^{1} (x) \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 19

化简。

$\frac{1 - 2 \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 20

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1 - 2 \ln (x) \cdot 1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 21

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 22

化简。

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解题步骤 22.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (x)$ 。

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 22.2

重新排序项。

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{2 x^{2} {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}$

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