微积分学示例

$f (x) = \frac{3 x^{2} \tan (x)}{\sec (x)}$

解题步骤 1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 x^{2} \tan (x)}{\sec (x)}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \tan (x)}{\sec (x)}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \tan (x)}{\sec (x)}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} \tan (x)$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

$3 \frac{\sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \tan (x)] - x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$3 \frac{\sec (x) (x^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 4

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$3 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 6

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$3 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 7

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 8

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$3 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 11

从 $\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 11.1

从 $- x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$3 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) + \sec (x) (- x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 11.2

从 $\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) + \sec (x) (- x^{2} \tan^{2} (x))$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$3 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 12

约去公因数。

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解题步骤 12.1

从 $\sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$3 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

解题步骤 12.2

约去公因数。

$3 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

解题步骤 12.3

重写表达式。

$3 \frac{x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x)}{\sec (x)}$

解题步骤 13

组合 $3$ 和 $\frac{x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x)}{\sec (x)}$ 。

$\frac{3 (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

运用分配律。

$\frac{3 (x^{2} \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) (2 x)) + 3 (- x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

解题步骤 14.2

化简分子。

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解题步骤 14.2.1

从 $3 (x^{2} \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) (2 x)) + 3 (- x^{2} \tan^{2} (x))$ 中分解出因数 $3 x$ 。

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解题步骤 14.2.1.1

从 $3 (x^{2} \sec^{2} (x))$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$\frac{3 x (x \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) (2 x)) + 3 (- x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

解题步骤 14.2.1.2

从 $3 (\tan (x) (2 x))$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$\frac{3 x (x \sec^{2} (x)) + 3 x (\tan (x) \cdot (2)) + 3 (- x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

解题步骤 14.2.1.3

从 $3 (- x^{2} \tan^{2} (x))$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$\frac{3 x (x \sec^{2} (x)) + 3 x (\tan (x) \cdot (2)) + 3 x (- x \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

解题步骤 14.2.1.4

从 $3 x (x \sec^{2} (x)) + 3 x (\tan (x) \cdot (2))$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$\frac{3 x (x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2)) + 3 x (- x \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

解题步骤 14.2.1.5

从 $3 x (x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2)) + 3 x (- x \tan^{2} (x))$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$\frac{3 x (x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2) - x \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

解题步骤 14.2.2

移动 $- x \tan^{2} (x)$ 。

$\frac{3 x (x \sec^{2} (x) - x \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

解题步骤 14.2.3

从 $x \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{3 x (x (\sec^{2} (x)) - x \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

解题步骤 14.2.4

从 $- x \tan^{2} (x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{3 x (x (\sec^{2} (x)) + x (- 1 \tan^{2} (x)) + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

解题步骤 14.2.5

从 $x (\sec^{2} (x)) + x (- 1 \tan^{2} (x))$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{3 x (x (\sec^{2} (x) - 1 \tan^{2} (x)) + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

解题步骤 14.2.6

使用勾股恒等式。

$\frac{3 x (x \cdot 1 + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

解题步骤 14.2.7

化简每一项。

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解题步骤 14.2.7.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 x (x + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

解题步骤 14.2.7.2

将 $2$ 移到 $\tan (x)$ 的左侧。

$\frac{3 x (x + 2 \tan (x))}{\sec (x)}$

解题步骤 14.2.8

运用分配律。

$\frac{3 x \cdot x + 3 x (2 \tan (x))}{\sec (x)}$

解题步骤 14.2.9

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 14.2.9.1

移动 $x$ 。

$\frac{3 (x \cdot x) + 3 x (2 \tan (x))}{\sec (x)}$

解题步骤 14.2.9.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{3 x^{2} + 3 x (2 \tan (x))}{\sec (x)}$

解题步骤 14.2.10

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 x^{2} + 6 x \tan (x)}{\sec (x)}$

解题步骤 14.3

从 $3 x^{2} + 6 x \tan (x)$ 中分解出因数 $3 x$ 。

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解题步骤 14.3.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$\frac{3 x (x) + 6 x \tan (x)}{\sec (x)}$

解题步骤 14.3.2

从 $6 x \tan (x)$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$\frac{3 x (x) + 3 x (2 \tan (x))}{\sec (x)}$

解题步骤 14.3.3

从 $3 x (x) + 3 x (2 \tan (x))$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$\frac{3 x (x + 2 \tan (x))}{\sec (x)}$

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