微积分学示例

$f (x) = \frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{\sqrt[3]{x^{4}}}$

解题步骤 1

将 $\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{\sqrt[3]{x^{4}}}]$ 重写为 $\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x \sqrt[3]{x}}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

因式分解出 $x^{3}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{\sqrt[3]{x^{3} x}}]$

解题步骤 1.2

从根式下提出各项。

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x \sqrt[3]{x}}]$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x \cdot x^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{1} x^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{1 + \frac{1}{3}}}]$

解题步骤 3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}]$

解题步骤 3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{\frac{3 + 1}{3}}}]$

解题步骤 3.4

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4

从 $6 x^{3} - 7 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

从 $6 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (6 x) - 7 x^{2}}{x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.2

从 $- 7 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 7}{x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.3

从 $x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 7$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (6 x - 7)}{x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 5

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{4}{3}}$ 移动到分子。

$\frac{d}{d x} [x^{2} (6 x - 7) x^{- \frac{4}{3}}]$

解题步骤 6

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{- \frac{4}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

移动 $x^{- \frac{4}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{3}} x^{2} (6 x - 7)]$

解题步骤 6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{3} + 2} (6 x - 7)]$

解题步骤 6.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} (6 x - 7)]$

解题步骤 6.4

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} (6 x - 7)]$

解题步骤 6.5

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 4 + 2 \cdot 3}{3}} (6 x - 7)]$

解题步骤 6.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.6.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 4 + 6}{3}} (6 x - 7)]$

解题步骤 6.6.2

将 $- 4$ 和 $6$ 相加。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} (6 x - 7)]$

解题步骤 7

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = 6 x - 7$ 。

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [6 x - 7] + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 8

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

根据加法法则， $6 x - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 8.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{\frac{2}{3}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 8.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{\frac{2}{3}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 8.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$x^{\frac{2}{3}} (6 + \frac{d}{d x} [- 7]) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 8.5

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{\frac{2}{3}} (6 + 0) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 8.6

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.6.1

将 $6$ 和 $0$ 相加。

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 6 + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 8.6.2

将 $6$ 移到 $x^{\frac{2}{3}}$ 的左侧。

$6 \cdot x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 8.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

解题步骤 9

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 10

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 11

在公分母上合并分子。

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 12

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

解题步骤 12.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

解题步骤 13

将负号移到分数的前面。

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

解题步骤 14

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 16

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.1

运用分配律。

$6 x^{\frac{2}{3}} + 6 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 16.2

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.1

组合 $6$ 和 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 。

$6 x^{\frac{2}{3}} + x \frac{6 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 16.2.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$6 x^{\frac{2}{3}} + x \frac{12}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 16.2.3

组合 $x$ 和 $\frac{12}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{x \cdot 12}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 16.2.4

将 $12$ 移到 $x$ 的左侧。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 \cdot x}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 16.2.5

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{3}}$ 移动到分子。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x \cdot x^{- \frac{1}{3}}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 16.2.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.6.1

移动 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 (x^{- \frac{1}{3}} x)}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 16.2.6.2

将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 (x^{- \frac{1}{3}} x^{1})}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 16.2.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x^{- \frac{1}{3} + 1}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 16.2.6.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 16.2.6.4

在公分母上合并分子。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x^{\frac{- 1 + 3}{3}}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 16.2.6.5

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 16.2.7

从 $12 x^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 (4 x^{\frac{2}{3}})}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 16.2.8

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.8.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 (4 x^{\frac{2}{3}})}{3 (1)} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 16.2.8.2

约去公因数。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 (4 x^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 1} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 16.2.8.3

重写表达式。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{1} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 16.2.8.4

用 $4 x^{\frac{2}{3}}$ 除以 $1$ 。

$6 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{2}{3}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 16.2.9

组合 $- 7$ 和 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 。

$6 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 7 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 16.2.10

将 $- 7$ 乘以 $2$ 。

$6 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 16.2.11

将负号移到分数的前面。

$6 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{2}{3}} - \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 16.2.12

将 $6 x^{\frac{2}{3}}$ 和 $4 x^{\frac{2}{3}}$ 相加。

$10 x^{\frac{2}{3}} - \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

微积分学 示例

微积分学示例