微积分学示例

$f (x) = \frac{10 t}{1 + t^{2}}$

解题步骤 1

因为 $10$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{10 t}{1 + t^{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $10 \frac{d}{d t} [\frac{t}{1 + t^{2}}]$ 。

$10 \frac{d}{d t} [\frac{t}{1 + t^{2}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = 1 + t^{2}$ 。

$10 \frac{(1 + t^{2}) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$10 \frac{(1 + t^{2}) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $1 + t^{2}$ 乘以 $1$ 。

$10 \frac{1 + t^{2} - t \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $1 + t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$10 \frac{1 + t^{2} - t (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.4

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$10 \frac{1 + t^{2} - t (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ 相加。

$10 \frac{1 + t^{2} - t \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$10 \frac{1 + t^{2} - t (2 t)}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$10 \frac{1 + t^{2} - 2 t \cdot t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 4

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 \frac{1 + t^{2} - 2 (t^{1} t)}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 \frac{1 + t^{2} - 2 (t^{1} t^{1})}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$10 \frac{1 + t^{2} - 2 t^{1 + 1}}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$10 \frac{1 + t^{2} - 2 t^{2}}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 8

从 $t^{2}$ 中减去 $2 t^{2}$ 。

$10 \frac{1 - t^{2}}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 9

组合 $10$ 和 $\frac{1 - t^{2}}{{(1 + t^{2})}^{2}}$ 。

$\frac{10 (1 - t^{2})}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$\frac{10 \cdot 1 + 10 (- t^{2})}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 10.2

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$\frac{10 + 10 (- t^{2})}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 10.2.2

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$\frac{10 - 10 t^{2}}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 10.3

重新排序项。

$\frac{- 10 t^{2} + 10}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

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