微积分学示例

$f (x) = \sqrt{3 p} \cdot \sqrt[3]{x^{4}}$

解题步骤 1

因式分解出 $x^{3}$ 。

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot \sqrt[3]{x^{3} x}]$

解题步骤 2

从根式下提出各项。

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot (x \sqrt[3]{x})]$

解题步骤 3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot (x \cdot x^{\frac{1}{3}})]$

解题步骤 4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot (x^{1} x^{\frac{1}{3}})]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot x^{1 + \frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot x^{\frac{3 + 1}{3}}]$

解题步骤 4.4

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot x^{\frac{4}{3}}]$

解题步骤 5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 p}$ 重写成 ${(3 p)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d p} [{(3 p)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}}]$

解题步骤 5.2

从 $3 p$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{d}{d p} [{(3 (p))}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}}]$

解题步骤 5.3

对 $3 (p)$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d p} [3^{\frac{1}{2}} p^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}}]$

解题步骤 6

因为 $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}}$ 对于 $p$ 是常数，所以 $3^{\frac{1}{2}} p^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}}$ 对 $p$ 的导数是 $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d p} [p^{\frac{1}{2}}]$ 。

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d p} [p^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ 等于 $n p^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} p^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} p^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 9

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} p^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 10

在公分母上合并分子。

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} p^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 11

化简分子。

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解题步骤 11.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} p^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 11.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} p^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 12

将负号移到分数的前面。

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} p^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $p^{- \frac{1}{2}}$ 。

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} \frac{p^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 14

组合 $3^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{p^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$x^{\frac{4}{3}} \frac{3^{\frac{1}{2}} p^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 15

组合 $x^{\frac{4}{3}}$ 和 $\frac{3^{\frac{1}{2}} p^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{4}{3}} (3^{\frac{1}{2}} p^{- \frac{1}{2}})}{2}$

解题步骤 16

化简表达式。

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解题步骤 16.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $p^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{x^{\frac{4}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2 p^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.2

重新排序项。

$\frac{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}}}{2 p^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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