微积分学示例

$f (x) = \log_{3} (x + \sqrt{x})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\log_{3} (x + x^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log_{3} (x)$ 且 $g (x) = x + x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u} [\log_{3} (u)] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

$\log_{3} (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u \ln (3)}$ 。

$\frac{1}{u \ln (3)} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.3

使用 $x + x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x + x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 8

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$\frac{1}{x \ln (3) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 11.2

重新排序 $\frac{1}{x \ln (3) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ 的因式。

$(1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x \ln (3) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3)}$

解题步骤 11.3

从 $x \ln (3) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ 。

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解题步骤 11.3.1

从 $x \ln (3)$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ 。

$(1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3)}$

解题步骤 11.3.2

从 $x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ 。

$(1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (1)}$

解题步骤 11.3.3

从 $x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (1)$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ 。

$(1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

解题步骤 11.4

将 $1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$ 。

$\frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

解题步骤 11.5

化简分子。

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解题步骤 11.5.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

解题步骤 11.5.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

解题步骤 11.6

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

解题步骤 11.7

乘以 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$ 。

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解题步骤 11.7.1

将 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

解题步骤 11.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

解题步骤 11.7.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

解题步骤 11.7.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{2}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

解题步骤 11.7.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.7.5.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{2}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

解题步骤 11.7.5.2

重写表达式。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{1} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

解题步骤 11.8

化简分母。

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解题步骤 11.8.1

重写。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

解题步骤 11.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

解题步骤 11.8.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

解题步骤 11.8.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{2}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

解题步骤 11.8.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.8.5.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{2}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

解题步骤 11.8.5.2

重写表达式。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{1} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

解题步骤 11.8.6

去掉多余的括号。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{1} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

解题步骤 11.8.7

化简。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

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