微积分学示例

$f (x) = \frac{\sin (x)}{2 - \cos (x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 - \cos (x)$ 。

$\frac{(2 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [2 - \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [2 - \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $2 - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 相加。

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.5

乘。

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解题步骤 3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) + 1 \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$\frac{2 \cos (x) - \cos (x) \cos (x) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2

化简分子。

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解题步骤 9.2.1

乘以 $- \cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 9.2.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1} - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \cos (x) - \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.2

从 $- \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.3

从 $- \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.4

从 $- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.5

重新整理项。

$\frac{2 \cos (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.6

使用勾股恒等式。

$\frac{2 \cos (x) - 1 \cdot 1}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 \cos (x) - 1}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.3

重新排序项。

$\frac{- 1 + 2 \cos (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{- 1 (1) + 2 \cos (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.5

从 $2 \cos (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1) - (- 2 \cos (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.6

从 $- 1 (1) - (- 2 \cos (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1 - 2 \cos (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1 - 2 \cos (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

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