微积分学示例

$f (x) = \frac{\sin (x)}{x} + \frac{| \sin (x) |}{x}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{\sin (x)}{x} + \frac{| \sin (x) |}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{| \sin (x) |}{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{| \sin (x) |}{x}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{| \sin (x) |}{x}]$

解题步骤 2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{| \sin (x) |}{x}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{| \sin (x) |}{x}]$

解题步骤 2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{| \sin (x) |}{x}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{| \sin (x) |}{x}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = | \sin (x) |$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x \frac{d}{d x} [| \sin (x) |] - | \sin (x) | \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - | \sin (x) | \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.2.2

$| u |$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{u}{| u |}$ 。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - | \sin (x) | \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - | \sin (x) | \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |} \cos (x)) - | \sin (x) | \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |} \cos (x)) - | \sin (x) | \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 3.5

组合 $\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x \frac{\sin (x) \cos (x)}{| \sin (x) |} - | \sin (x) | \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 3.6

组合 $x$ 和 $\frac{\sin (x) \cos (x)}{| \sin (x) |}$ 。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{\frac{x (\sin (x) \cos (x))}{| \sin (x) |} - | \sin (x) | \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 3.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{\frac{x (\sin (x) \cos (x))}{| \sin (x) |} - | \sin (x) |}{x^{2}}$

解题步骤 3.8

将 $\frac{\frac{x (\sin (x) \cos (x))}{| \sin (x) |} - | \sin (x) |}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{| \sin (x) |}{| \sin (x) |}$ 。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{| \sin (x) |}{| \sin (x) |} \cdot \frac{\frac{x (\sin (x) \cos (x))}{| \sin (x) |} - | \sin (x) |}{x^{2}}$

解题步骤 3.9

合并。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{| \sin (x) | (\frac{x (\sin (x) \cos (x))}{| \sin (x) |} - | \sin (x) |)}{| \sin (x) | x^{2}}$

解题步骤 3.10

运用分配律。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{| \sin (x) | \frac{x (\sin (x) \cos (x))}{| \sin (x) |} + | \sin (x) | (- | \sin (x) |)}{| \sin (x) | x^{2}}$

解题步骤 3.11

约去 $| \sin (x) |$ 的公因数。

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解题步骤 3.11.1

约去公因数。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{| \sin (x) | \frac{x (\sin (x) \cos (x))}{| \sin (x) |} + | \sin (x) | (- | \sin (x) |)}{| \sin (x) | x^{2}}$

解题步骤 3.11.2

重写表达式。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) + | \sin (x) | (- | \sin (x) |)}{| \sin (x) | x^{2}}$

解题步骤 3.12

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin (x) \sin (x) |}{| \sin (x) | x^{2}}$

解题步骤 3.13

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin^{1} (x) \sin (x) |}{| \sin (x) | x^{2}}$

解题步骤 3.14

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) |}{| \sin (x) | x^{2}}$

解题步骤 3.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | {\sin (x)}^{1 + 1} |}{| \sin (x) | x^{2}}$

解题步骤 3.16

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin^{2} (x) |}{| \sin (x) | x^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

合并项。

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解题步骤 4.1.1

要将 $\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{| \sin (x) |}{| \sin (x) |}$ 。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} \cdot \frac{| \sin (x) |}{| \sin (x) |} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin^{2} (x) |}{| \sin (x) | x^{2}}$

解题步骤 4.1.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $| \sin (x) | x^{2}$ 的形式。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{| \sin (x) |}{| \sin (x) |}$ 。

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) | \sin (x) |}{x^{2} | \sin (x) |} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin^{2} (x) |}{| \sin (x) | x^{2}}$

解题步骤 4.1.2.2

重新排序 $| \sin (x) | x^{2}$ 的因式。

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) | \sin (x) |}{x^{2} | \sin (x) |} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin^{2} (x) |}{x^{2} | \sin (x) |}$

解题步骤 4.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) | \sin (x) | + x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin^{2} (x) |}{x^{2} | \sin (x) |}$

解题步骤 4.2

重新排序项。

$\frac{| \sin (x) | (x \cos (x) - \sin (x)) + x \cos (x) \sin (x) - | \sin^{2} (x) |}{x^{2} | \sin (x) |}$

解题步骤 4.3

化简分子。

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解题步骤 4.3.1

运用分配律。

$\frac{| \sin (x) | (x \cos (x)) + | \sin (x) | (- \sin (x)) + x \cos (x) \sin (x) - | \sin^{2} (x) |}{x^{2} | \sin (x) |}$

解题步骤 4.3.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{| \sin (x) | x \cos (x) - | \sin (x) | \sin (x) + x \cos (x) \sin (x) - | \sin^{2} (x) |}{x^{2} | \sin (x) |}$

解题步骤 4.3.3

从绝对值中去掉非负项。

$\frac{| \sin (x) | x \cos (x) - | \sin (x) | \sin (x) + x \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x)}{x^{2} | \sin (x) |}$

解题步骤 4.3.4

以因式分解的形式重写 $| \sin (x) | x \cos (x) - | \sin (x) | \sin (x) + x \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 4.3.4.1

重新排序项。

$\frac{x | \sin (x) | \cos (x) - | \sin (x) | \sin (x) + x \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x)}{x^{2} | \sin (x) |}$

解题步骤 4.3.4.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 4.3.4.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(x | \sin (x) | \cos (x) - | \sin (x) | \sin (x)) + x \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x)}{x^{2} | \sin (x) |}$

解题步骤 4.3.4.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{| \sin (x) | (x \cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (x \cos (x) - \sin (x))}{x^{2} | \sin (x) |}$

解题步骤 4.3.4.3

通过因式分解出最大公因数 $x \cos (x) - \sin (x)$ 来因式分解多项式。

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) (| \sin (x) | + \sin (x))}{x^{2} | \sin (x) |}$

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