微积分学示例

$f (x) = \frac{\ln (1 + x^{2})}{\arctan (x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (1 + x^{2})$ 且 $g (x) = \arctan (x)$ 。

$\frac{\arctan (x) \frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})] - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 + x^{2}$ 。

$\frac{\arctan (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{\arctan (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用 $1 + x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\arctan (x) (\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 和 $\arctan (x)$ 。

$\frac{\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 3.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 相加。

$\frac{\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} (2 x) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 3.6

合并分数。

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解题步骤 3.6.1

组合 $2$ 和 $\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{\frac{2 \arctan (x)}{1 + x^{2}} x - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

组合 $\frac{2 \arctan (x)}{1 + x^{2}}$ 和 $x$ 。

$\frac{\frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 4

将 $\frac{\frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$ 乘以 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{\frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

合并。

$\frac{(1 + x^{2}) (\frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} + (1 + x^{2}) (- \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 5.3

约去 $1 + x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

约去公因数。

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} + (1 + x^{2}) (- \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

重写表达式。

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) (- \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 6

$\arctan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) (- \ln (1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 7

组合 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 和 $\ln (1 + x^{2})$ 。

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) (- \frac{\ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) (- \frac{\ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}})}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 8.2

化简分子。

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解题步骤 8.2.1

约去 $1 + x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

将 $- \frac{\ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) \frac{- \ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2

约去公因数。

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) \frac{- \ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.3

重写表达式。

$\frac{2 \arctan (x) x - \ln (1 + x^{2})}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 8.2.2

将 $2 \arctan (x) x - \ln (1 + x^{2})$ 中的因式重新排序。

$\frac{2 x \arctan (x) - \ln (1 + x^{2})}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 8.3

将 ${\arctan (x)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x \arctan (x) - \ln (1 + x^{2})}{{\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 8.4

从 ${\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}$ 中分解出因数 ${\arctan (x)}^{2}$ 。

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解题步骤 8.4.1

乘以 $1$ 。

$\frac{2 x \arctan (x) - \ln (1 + x^{2})}{{\arctan (x)}^{2} \cdot 1 + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

解题步骤 8.4.2

从 $x^{2} {\arctan (x)}^{2}$ 中分解出因数 ${\arctan (x)}^{2}$ 。

$\frac{2 x \arctan (x) - \ln (1 + x^{2})}{{\arctan (x)}^{2} \cdot 1 + {\arctan (x)}^{2} x^{2}}$

解题步骤 8.4.3

从 ${\arctan (x)}^{2} \cdot 1 + {\arctan (x)}^{2} x^{2}$ 中分解出因数 ${\arctan (x)}^{2}$ 。

$\frac{2 x \arctan (x) - \ln (1 + x^{2})}{{\arctan (x)}^{2} (1 + x^{2})}$

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