微积分学示例

$f (x) = e^{\ln (2)} + e^{x} \sin (x)$

解题步骤 1

指数函数和对数函数互为反函数。

$\frac{d}{d x} [2 + e^{x} \sin (x)]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 + e^{x} \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

解题步骤 2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ 。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$0 + e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$0 + e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$0 + e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $0$ 和 $e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$ 相加。

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

解题步骤 4.2

重新排序项。

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$

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