微积分学示例

$f (x) = e^{\frac{- 1}{x - 2}}$

解题步骤 1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{1}{x - 2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - \frac{1}{x - 2}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- \frac{1}{x - 2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x - 2}]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x - 2}]$

解题步骤 2.3

使用 $- \frac{1}{x - 2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x - 2}]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x - 2}$ 。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}] + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 4

将 $\frac{1}{x - 2}$ 重写为 ${(x - 2)}^{- 1}$ 。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} (- \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{- 1}] + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x - 2$ 。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} (- (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 5.3

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} (- (- {(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} (1 ({(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 6.2

将 ${(x - 2)}^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} ({(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 6.3

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} ({(x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 6.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} ({(x - 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 6.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} ({(x - 2)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 6.6

化简表达式。

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解题步骤 6.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} ({(x - 2)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 6.6.2

将 ${(x - 2)}^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} ({(x - 2)}^{- 2} + \frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 6.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} ({(x - 2)}^{- 2} + \frac{1}{x - 2} \cdot 0)$

解题步骤 6.8

化简表达式。

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解题步骤 6.8.1

将 $\frac{1}{x - 2}$ 乘以 $0$ 。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} ({(x - 2)}^{- 2} + 0)$

解题步骤 6.8.2

将 ${(x - 2)}^{- 2}$ 和 $0$ 相加。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} {(x - 2)}^{- 2}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$e^{- \frac{1}{x - 2}} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 7.2

组合 $e^{- \frac{1}{x - 2}}$ 和 $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ 。

$\frac{e^{- \frac{1}{x - 2}}}{{(x - 2)}^{2}}$

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