微积分学示例

$f (x) = \frac{72}{5} + \frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\frac{72}{5} + \frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{72}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{72}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{72}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{72}{5}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{48}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{48}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}]$ 。

$0 + \frac{48}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}$ 重写为 ${({(3 x + 1)}^{2})}^{- 1}$ 。

$0 + \frac{48}{5} \frac{d}{d x} [{({(3 x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = {(3 x + 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(3 x + 1)}^{2}$ 。

$0 + \frac{48}{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{2}])$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$0 + \frac{48}{5} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{2}])$

解题步骤 2.3.3

使用 ${(3 x + 1)}^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{2}])$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 3 x + 1$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 x + 1$ 。

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [3 x + 1]))$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [3 x + 1]))$

解题步骤 2.4.3

使用 $3 x + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x + 1]))$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $3 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])))$

解题步骤 2.6

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])))$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])))$

解题步骤 2.8

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

解题步骤 2.9

将 ${({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.9.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{2 \cdot - 2} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

解题步骤 2.9.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

解题步骤 2.10

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (2 (3 x + 1) (3 + 0)))$

解题步骤 2.11

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (2 (3 x + 1) \cdot 3))$

解题步骤 2.12

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (6 (3 x + 1)))$

解题步骤 2.13

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + \frac{48}{5} (- 6 {(3 x + 1)}^{- 4} (3 x + 1))$

解题步骤 2.14

对 $3 x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$0 + \frac{48}{5} (- 6 ({(3 x + 1)}^{1} {(3 x + 1)}^{- 4}))$

解题步骤 2.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$0 + \frac{48}{5} (- 6 {(3 x + 1)}^{1 - 4})$

解题步骤 2.16

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$0 + \frac{48}{5} (- 6 {(3 x + 1)}^{- 3})$

解题步骤 2.17

组合 $- 6$ 和 $\frac{48}{5}$ 。

$0 + \frac{- 6 \cdot 48}{5} {(3 x + 1)}^{- 3}$

解题步骤 2.18

将 $- 6$ 乘以 $48$ 。

$0 + \frac{- 288}{5} {(3 x + 1)}^{- 3}$

解题步骤 2.19

组合 $\frac{- 288}{5}$ 和 ${(3 x + 1)}^{- 3}$ 。

$0 + \frac{- 288 {(3 x + 1)}^{- 3}}{5}$

解题步骤 2.20

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(3 x + 1)}^{- 3}$ 移动到分母。

$0 + \frac{- 288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.21

将负号移到分数的前面。

$0 - \frac{288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$

解题步骤 3

从 $0$ 中减去 $\frac{288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$ 。

$- \frac{288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$

微积分学 示例

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