微积分学示例

$f (x) = \frac{x}{{(7 x - 6)}^{6}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(7 x - 6)}^{6}$ 。

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{({(7 x - 6)}^{6})}^{2}}$

解题步骤 2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.1

将 ${({(7 x - 6)}^{6})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{6 \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{12}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{12}}$

解题步骤 2.3

将 ${(7 x - 6)}^{6}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{12}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{6}$ 且 $g (x) = 7 x - 6$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $7 x - 6$ 。

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x (6 u^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

解题步骤 3.3

使用 $7 x - 6$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x (6 {(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

解题步骤 4

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.1

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

解题步骤 4.2

从 ${(7 x - 6)}^{6} - 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])$ 中分解出因数 ${(7 x - 6)}^{5}$ 。

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解题步骤 4.2.1

从 ${(7 x - 6)}^{6}$ 中分解出因数 ${(7 x - 6)}^{5}$ 。

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6) - 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

解题步骤 4.2.2

从 $- 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])$ 中分解出因数 ${(7 x - 6)}^{5}$ 。

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6) + {(7 x - 6)}^{5} (- 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{12}}$

解题步骤 4.2.3

从 ${(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6) + {(7 x - 6)}^{5} (- 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))$ 中分解出因数 ${(7 x - 6)}^{5}$ 。

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{12}}$

解题步骤 5

约去公因数。

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解题步骤 5.1

从 ${(7 x - 6)}^{12}$ 中分解出因数 ${(7 x - 6)}^{5}$ 。

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{5} {(7 x - 6)}^{7}}$

解题步骤 5.2

约去公因数。

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{5} {(7 x - 6)}^{7}}$

解题步骤 5.3

重写表达式。

$\frac{7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

解题步骤 6

根据加法法则， $7 x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$\frac{7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

解题步骤 7

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

解题步骤 8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

解题步骤 9

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

解题步骤 10

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 + 0)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

解题步骤 11

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 11.1

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$\frac{7 x - 6 - 6 x \cdot 7}{{(7 x - 6)}^{7}}$

解题步骤 11.2

将 $7$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{7 x - 6 - 42 x}{{(7 x - 6)}^{7}}$

解题步骤 11.3

从 $7 x$ 中减去 $42 x$ 。

$\frac{- 35 x - 6}{{(7 x - 6)}^{7}}$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

从 $- 35 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (35 x) - 6}{{(7 x - 6)}^{7}}$

解题步骤 12.2

将 $- 6$ 重写为 $- 1 (6)$ 。

$\frac{- (35 x) - 1 (6)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

解题步骤 12.3

从 $- (35 x) - 1 (6)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (35 x + 6)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

解题步骤 12.4

将 $- (35 x + 6)$ 重写为 $- 1 (35 x + 6)$ 。

$\frac{- 1 (35 x + 6)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

解题步骤 12.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{35 x + 6}{{(7 x - 6)}^{7}}$

微积分学 示例

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