微积分学示例

$f (x) = x^{\frac{1}{7}} {(x - 1)}^{2}$

解题步骤 1

将 ${(x - 1)}^{2}$ 重写为 $(x - 1) (x - 1)$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}} ((x - 1) (x - 1))]$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}} (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 3.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}} (x^{2} - x - x + 1)]$

解题步骤 3.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}} (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{7}}$ 且 $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ 。

$x^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

根据加法法则， $x^{2} - 2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$x^{\frac{1}{7}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{\frac{1}{7}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

解题步骤 5.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{\frac{1}{7}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

解题步骤 5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{\frac{1}{7}} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

解题步骤 5.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$x^{\frac{1}{7}} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

解题步骤 5.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{\frac{1}{7}} (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

解题步骤 5.7

将 $2 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$x^{\frac{1}{7}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

解题步骤 5.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{7}$ 。

$x^{\frac{1}{7}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1})$

解题步骤 6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$x^{\frac{1}{7}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

解题步骤 7

组合 $- 1$ 和 $\frac{7}{7}$ 。

$x^{\frac{1}{7}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

解题步骤 8

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{1}{7}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{7} x^{\frac{1 - 1 \cdot 7}{7}})$

解题步骤 9

化简分子。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$x^{\frac{1}{7}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{7} x^{\frac{1 - 7}{7}})$

解题步骤 9.2

从 $1$ 中减去 $7$ 。

$x^{\frac{1}{7}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{7} x^{\frac{- 6}{7}})$

解题步骤 10

将负号移到分数的前面。

$x^{\frac{1}{7}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{7} x^{- \frac{6}{7}})$

解题步骤 11

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $x^{- \frac{6}{7}}$ 。

$x^{\frac{1}{7}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{x^{- \frac{6}{7}}}{7}$

解题步骤 12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{6}{7}}$ 移动到分母。

$x^{\frac{1}{7}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

运用分配律。

$x^{\frac{1}{7}} (2 x) + x^{\frac{1}{7}} \cdot - 2 + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.2

运用分配律。

$x^{\frac{1}{7}} (2 x) + x^{\frac{1}{7}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3

合并项。

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解题步骤 13.3.1

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{7}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 13.3.1.1

移动 $x$ 。

$x \cdot x^{\frac{1}{7}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{7}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{7}}$ 。

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解题步骤 13.3.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{1} x^{\frac{1}{7}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{7}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{1 + \frac{1}{7}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{7}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.1.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$x^{\frac{7}{7} + \frac{1}{7}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{7}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.1.4

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{7 + 1}{7}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{7}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.1.5

将 $7$ 和 $1$ 相加。

$x^{\frac{8}{7}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{7}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.2

将 $2$ 移到 $x^{\frac{8}{7}}$ 的左侧。

$2 \cdot x^{\frac{8}{7}} + x^{\frac{1}{7}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.3

将 $- 2$ 移到 $x^{\frac{1}{7}}$ 的左侧。

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 \cdot x^{\frac{1}{7}} + x^{2} \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.4

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$ 。

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{2}}{7 x^{\frac{6}{7}}} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.5

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{6}{7}}$ 移动到分子。

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{2} x^{- \frac{6}{7}}}{7} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.6

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{- \frac{6}{7}}$ 。

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解题步骤 13.3.6.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{2 - \frac{6}{7}}}{7} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.6.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{2 \cdot \frac{7}{7} - \frac{6}{7}}}{7} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.6.3

组合 $2$ 和 $\frac{7}{7}$ 。

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{2 \cdot 7}{7} - \frac{6}{7}}}{7} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.6.4

在公分母上合并分子。

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{2 \cdot 7 - 6}{7}}}{7} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.6.5

化简分子。

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解题步骤 13.3.6.5.1

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{14 - 6}{7}}}{7} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.6.5.2

从 $14$ 中减去 $6$ 。

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.7

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$ 。

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} + x \frac{- 2}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.8

组合 $x$ 和 $\frac{- 2}{7 x^{\frac{6}{7}}}$ 。

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{x \cdot - 2}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.9

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{- 2 \cdot x}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.10

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{6}{7}}$ 移动到分子。

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{- 2 x \cdot x^{- \frac{6}{7}}}{7} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.11

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{6}{7}}$ 。

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解题步骤 13.3.11.1

移动 $x^{- \frac{6}{7}}$ 。

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{- 2 (x^{- \frac{6}{7}} x)}{7} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.11.2

将 $x^{- \frac{6}{7}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 13.3.11.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{- 2 (x^{- \frac{6}{7}} x^{1})}{7} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{- 2 x^{- \frac{6}{7} + 1}}{7} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.11.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{- 2 x^{- \frac{6}{7} + \frac{7}{7}}}{7} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.11.4

在公分母上合并分子。

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{- 2 x^{\frac{- 6 + 7}{7}}}{7} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.11.5

将 $- 6$ 和 $7$ 相加。

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{- 2 x^{\frac{1}{7}}}{7} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.12

将负号移到分数的前面。

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} - \frac{2 x^{\frac{1}{7}}}{7} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.13

将 $\frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$ 乘以 $1$ 。

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} - \frac{2 x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.14

要将 $2 x^{\frac{8}{7}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$- 2 x^{\frac{1}{7}} + 2 x^{\frac{8}{7}} \cdot \frac{7}{7} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} - \frac{2 x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.15

组合 $2 x^{\frac{8}{7}}$ 和 $\frac{7}{7}$ 。

$- 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{2 x^{\frac{8}{7}} \cdot 7}{7} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} - \frac{2 x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.16

在公分母上合并分子。

$- 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{2 x^{\frac{8}{7}} \cdot 7 + x^{\frac{8}{7}}}{7} - \frac{2 x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.17

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$- 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{14 x^{\frac{8}{7}} + x^{\frac{8}{7}}}{7} - \frac{2 x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.18

将 $14 x^{\frac{8}{7}}$ 和 $x^{\frac{8}{7}}$ 相加。

$- 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{15 x^{\frac{8}{7}}}{7} - \frac{2 x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.19

要将 $- 2 x^{\frac{1}{7}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$- 2 x^{\frac{1}{7}} \cdot \frac{7}{7} - \frac{2 x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{15 x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.20

组合 $- 2 x^{\frac{1}{7}}$ 和 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{7}} \cdot 7}{7} - \frac{2 x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{15 x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.21

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{7}} \cdot 7 - 2 x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{15 x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.22

将 $7$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 14 x^{\frac{1}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{15 x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.23

从 $- 14 x^{\frac{1}{7}}$ 中减去 $2 x^{\frac{1}{7}}$ 。

$\frac{- 16 x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{15 x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.3.24

将负号移到分数的前面。

$- \frac{16 x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{15 x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 13.4

重新排序项。

$\frac{15 x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} - \frac{16 x^{\frac{1}{7}}}{7}$

微积分学 示例

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