微积分学示例

$f (x) = x^{2} \cot (x) - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1

根据加法法则， $x^{2} \cot (x) - \frac{1}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x)]$ 。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cot (x)$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 2.2

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 3.6

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 3.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 3.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 3.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 3.10

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 3.11

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 3.12

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $0$ 。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + 2 x^{- 3} + 0$

解题步骤 3.13

将 $2 x^{- 3}$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + 2 x^{- 3}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + 2 \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 4.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + \frac{2}{x^{3}}$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$- x^{2} \csc^{2} (x) + 2 x \cot (x) + \frac{2}{x^{3}}$

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