微积分学示例

$3 x^{3} - x^{2} - 22 x + 24$

解题步骤 1

使用有理根检验法因式分解 $3 x^{3} - x^{2} - 22 x + 24$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 3$

解题步骤 1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 24, \pm 8, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 12, \pm 4, \pm 3, \pm 2.\overline{6}, \pm 1.\overline{3}, \pm 6$

解题步骤 1.3

代入 $2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $2$ 是多项式的根。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

将 $2$ 代入多项式。

$3 \cdot 2^{3} - 2^{2} - 22 \cdot 2 + 24$

解题步骤 1.3.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$3 \cdot 8 - 2^{2} - 22 \cdot 2 + 24$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$24 - 2^{2} - 22 \cdot 2 + 24$

解题步骤 1.3.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$24 - 1 \cdot 4 - 22 \cdot 2 + 24$

解题步骤 1.3.5

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$24 - 4 - 22 \cdot 2 + 24$

解题步骤 1.3.6

从 $24$ 中减去 $4$ 。

$20 - 22 \cdot 2 + 24$

解题步骤 1.3.7

将 $- 22$ 乘以 $2$ 。

$20 - 44 + 24$

解题步骤 1.3.8

从 $20$ 中减去 $44$ 。

$- 24 + 24$

解题步骤 1.3.9

将 $- 24$ 和 $24$ 相加。

$0$

解题步骤 1.4

因为 $2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{3 x^{3} - x^{2} - 22 x + 24}{x - 2}$

解题步骤 1.5

用 $3 x^{3} - x^{2} - 22 x + 24$ 除以 $x - 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$2$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$22 x$

$24$

解题步骤 1.5.2

将被除数中的最高阶项 $3 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$3 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$

解题步骤 1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$3 x^{2}$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			+	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

解题步骤 1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 x^{3} - 6 x^{2}$ 中的所有符号

				$3 x^{2}$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

解题步骤 1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$3 x^{2}$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

解题步骤 1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$3 x^{2}$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$

解题步骤 1.5.7

将被除数中的最高阶项 $5 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$3 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$

解题步骤 1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$3 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$10 x$

解题步骤 1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $5 x^{2} - 10 x$ 中的所有符号

				$3 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$

解题步骤 1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$3 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$12 x$

解题步骤 1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$3 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$12 x$	+	$24$

解题步骤 1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 12 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$12$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$12 x$	+	$24$

解题步骤 1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$12$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$12 x$	+	$24$
							-	$12 x$	+	$24$

解题步骤 1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 12 x + 24$ 中的所有符号

				$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$12$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$12 x$	+	$24$
							+	$12 x$	-	$24$

解题步骤 1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$12$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$12 x$	+	$24$
							+	$12 x$	-	$24$
										$0$

解题步骤 1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$3 x^{2} + 5 x - 12$

解题步骤 1.6

将 $3 x^{3} - x^{2} - 22 x + 24$ 书写为因数的集合。

$(x - 2) (3 x^{2} + 5 x - 12)$

解题步骤 2

分组因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

分组因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 12 = - 36$ 并且它们的和为 $b = 5$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.1

从 $5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$(x - 2) (3 x^{2} + 5 (x) - 12)$

解题步骤 2.1.1.2

把 $5$ 重写为 $- 4$ 加 $9$

$(x - 2) (3 x^{2} + (- 4 + 9) x - 12)$

解题步骤 2.1.1.3

运用分配律。

$(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 9 x - 12)$

解题步骤 2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x - 2) ((3 x^{2} - 4 x) + 9 x - 12)$

解题步骤 2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x - 2) (x (3 x - 4) + 3 (3 x - 4))$

解题步骤 2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x - 4$ 来因式分解多项式。

$(x - 2) ((3 x - 4) (x + 3))$

解题步骤 2.2

去掉多余的括号。

$(x - 2) (3 x - 4) (x + 3)$

微积分学 示例

微积分学示例