微积分学示例

$f (x) = x - \ln (x)$

解题步骤 1

求在何处表达式 $x - \ln (x)$ 无定义。

$x \leq 0$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $0$ 时， $x - \ln (x)$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $0$ 时， $x - \ln (x)$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = 0$ 是一条垂直渐近线。

$x = 0$

解题步骤 3

忽略对数，考虑分子的次数为 $n$ 且分母的次数为 $m$ 的有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 4

因为 $Q (x)$ 为 $1$ ，所以不存在水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 5

对数函数和三角函数没有斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = 0$

不存在水平渐近线

解题步骤 7

微积分学 示例