微积分学示例

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 1

将积分表示为 $t$ 趋于 $\infty$ 时的极限。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- 2} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$lim_{t \to \infty} - x^{- 1}]_{1}^{t}$

解题步骤 4

代入并化简。

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解题步骤 4.1

计算 $- x^{- 1}$ 在 $t$ 处和在 $1$ 处的值。

$lim_{t \to \infty} (- t^{- 1}) + 1^{- 1}$

解题步骤 4.2

一的任意次幂都为一。

$lim_{t \to \infty} - t^{- 1} + 1$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- lim_{t \to \infty} t^{- 1} + lim_{t \to \infty} 1$

解题步骤 5.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} + lim_{t \to \infty} 1$

解题步骤 5.3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{t}$ 趋于 $0$ 。

$- 0 + lim_{t \to \infty} 1$

解题步骤 5.4

计算极限值。

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解题步骤 5.4.1

计算 $1$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$0 + 1$

解题步骤 5.4.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

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