微积分学示例

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{25 x^{2} + 5}}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{x}{\sqrt{25 x^{2} + 5}}$ 无定义。

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

计算 $lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{25 x^{2} + 5}}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 3.1

从 $25 x^{2} + 5$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $25 x^{2}$ 中分解出因数 $5$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2}) + 5}}$

解题步骤 3.1.2

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2}) + 5 (1)}}$

解题步骤 3.1.3

从 $5 (5 x^{2}) + 5 (1)$ 中分解出因数 $5$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2} + 1)}}$

解题步骤 3.2

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x = \sqrt{x^{2}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.3

计算极限值。

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解题步骤 3.3.1

约去 $x$ 的公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.3.2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.3.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.3.4

将极限移入根号内。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.3.5

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.4

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

解题步骤 3.5

计算极限值。

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解题步骤 3.5.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

解题步骤 3.5.1.2

用 $5$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

解题步骤 3.5.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

解题步骤 3.5.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{1}}}$

解题步骤 3.5.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{\sqrt{5 \frac{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

解题步骤 3.5.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{\sqrt{5 \frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

解题步骤 3.5.5

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{\sqrt{5 \frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

解题步骤 3.6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1}{\sqrt{5 \frac{5 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

解题步骤 3.7

计算极限值。

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解题步骤 3.7.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{\sqrt{5 \frac{5 + 0}{1}}}$

解题步骤 3.7.2

化简答案。

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解题步骤 3.7.2.1

用 $5 + 0$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{5 (5 + 0)}}$

解题步骤 3.7.2.2

化简分母。

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解题步骤 3.7.2.2.1

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{5 \cdot 5}}$

解题步骤 3.7.2.2.2

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{\sqrt{25}}$

解题步骤 3.7.2.2.3

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

解题步骤 3.7.2.2.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{1}{5}$

解题步骤 4

计算 $lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{25 x^{2} + 5}}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 4.1

从 $25 x^{2} + 5$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $25 x^{2}$ 中分解出因数 $5$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2}) + 5}}$

解题步骤 4.1.2

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2}) + 5 (1)}}$

解题步骤 4.1.3

从 $5 (5 x^{2}) + 5 (1)$ 中分解出因数 $5$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2} + 1)}}$

解题步骤 4.2

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x = - \sqrt{x^{2}}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.3

计算极限值。

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解题步骤 4.3.1

约去 $x$ 的公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.3.2

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.3.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.3.4

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.3.5

将极限移入根号内。

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.3.6

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.4

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

解题步骤 4.5

计算极限值。

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解题步骤 4.5.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

解题步骤 4.5.1.2

用 $5$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

解题步骤 4.5.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

解题步骤 4.5.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{1}}}$

解题步骤 4.5.3

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{- \sqrt{5 \frac{lim_{x \to - \infty} 5 + \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

解题步骤 4.5.4

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{- \sqrt{5 \frac{lim_{x \to - \infty} 5 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

解题步骤 4.5.5

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{- \sqrt{5 \frac{5 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

解题步骤 4.6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1}{- \sqrt{5 \frac{5 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

解题步骤 4.7

计算极限值。

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解题步骤 4.7.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{- \sqrt{5 \frac{5 + 0}{1}}}$

解题步骤 4.7.2

化简答案。

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解题步骤 4.7.2.1

用 $5 + 0$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{- \sqrt{5 (5 + 0)}}$

解题步骤 4.7.2.2

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.7.2.2.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{5 (5 + 0)}}$

解题步骤 4.7.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{\sqrt{5 (5 + 0)}}$

解题步骤 4.7.2.3

化简分母。

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解题步骤 4.7.2.3.1

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{\sqrt{5 \cdot 5}}$

解题步骤 4.7.2.3.2

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{25}}$

解题步骤 4.7.2.3.3

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

解题步骤 4.7.2.3.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- \frac{1}{5}$

解题步骤 5

列出水平渐近线：

$y = \frac{1}{5}, - \frac{1}{5}$

解题步骤 6

使用多项式除法求斜渐近线。因为该表达式含有一个根号，所以无法进行多项式除法。

无法求斜渐近线

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

水平渐近线： $y = \frac{1}{5}, - \frac{1}{5}$

无法求斜渐近线

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例