微积分学示例

${(y + z)}^{3} - 125$

解题步骤 1

将 $125$ 重写为 $5^{3}$ 。

${(y + z)}^{3} - 5^{3}$

解题步骤 2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = y + z$ 和 $b = 5$ 。

$(y + z - 5) ({(y + z)}^{2} + (y + z) \cdot 5 + 5^{2})$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 ${(y + z)}^{2}$ 重写为 $(y + z) (y + z)$ 。

$(y + z - 5) ((y + z) (y + z) + (y + z) \cdot 5 + 5^{2})$

解题步骤 3.2

使用 FOIL 方法展开 $(y + z) (y + z)$ 。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$(y + z - 5) (y (y + z) + z (y + z) + (y + z) \cdot 5 + 5^{2})$

解题步骤 3.2.2

运用分配律。

$(y + z - 5) (y \cdot y + y z + z (y + z) + (y + z) \cdot 5 + 5^{2})$

解题步骤 3.2.3

运用分配律。

$(y + z - 5) (y \cdot y + y z + z y + z \cdot z + (y + z) \cdot 5 + 5^{2})$

解题步骤 3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$(y + z - 5) (y^{2} + y z + z y + z \cdot z + (y + z) \cdot 5 + 5^{2})$

解题步骤 3.3.1.2

将 $z$ 乘以 $z$ 。

$(y + z - 5) (y^{2} + y z + z y + z^{2} + (y + z) \cdot 5 + 5^{2})$

解题步骤 3.3.2

将 $y z$ 和 $z y$ 相加。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $z$ 和 $y$ 重新排序。

$(y + z - 5) (y^{2} + y z + y z + z^{2} + (y + z) \cdot 5 + 5^{2})$

解题步骤 3.3.2.2

将 $y z$ 和 $y z$ 相加。

$(y + z - 5) (y^{2} + 2 y z + z^{2} + (y + z) \cdot 5 + 5^{2})$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$(y + z - 5) (y^{2} + 2 y z + z^{2} + y \cdot 5 + z \cdot 5 + 5^{2})$

解题步骤 3.5

将 $5$ 移到 $y$ 的左侧。

$(y + z - 5) (y^{2} + 2 y z + z^{2} + 5 \cdot y + z \cdot 5 + 5^{2})$

解题步骤 3.6

将 $5$ 移到 $z$ 的左侧。

$(y + z - 5) (y^{2} + 2 y z + z^{2} + 5 y + 5 z + 5^{2})$

解题步骤 3.7

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$(y + z - 5) (y^{2} + 2 y z + z^{2} + 5 y + 5 z + 25)$

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