微积分学示例

$y = x^{2} \sin (4 x)$

解题步骤 1

将 $x^{2} \sin (4 x)$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} \sin (4 x) = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$\sin (4 x) = 0$

解题步骤 2.2

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 2.2.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.2.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.2.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 2.2.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.3

将 $\sin (4 x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $\sin (4 x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (4 x) = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $x$ 的 $\sin (4 x) = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$4 x = \arcsin (0)$

解题步骤 2.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$4 x = 0$

解题步骤 2.3.2.3

将 $4 x = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.3.2.3.1

将 $4 x = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 2.3.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 2.3.2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{4}$

解题步骤 2.3.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.3.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.3.2.4

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$4 x = π - 0$

解题步骤 2.3.2.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.2.5.1

化简。

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解题步骤 2.3.2.5.1.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$4 x = π + 0$

解题步骤 2.3.2.5.1.2

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$4 x = π$

解题步骤 2.3.2.5.2

将 $4 x = π$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.3.2.5.2.1

将 $4 x = π$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

解题步骤 2.3.2.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.5.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

解题步骤 2.3.2.5.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 2.3.2.6

求 $\sin (4 x)$ 的周期。

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解题步骤 2.3.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.3.2.6.2

使用周期公式中的 $4$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 4 |}$

解题步骤 2.3.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$\frac{2 π}{4}$

解题步骤 2.3.2.6.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.6.4.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (π)}{4}$

解题步骤 2.3.2.6.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.6.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.2.6.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.2.6.4.2.3

重写表达式。

$\frac{π}{2}$

解题步骤 2.3.2.7

$\sin (4 x)$ 函数的周期为 $\frac{π}{2}$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $\frac{π}{2}$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.4

最终解为使 $x^{2} \sin (4 x) = 0$ 成立的所有值。根的重数为根出现的次数。

$x = 0$ ( $2$ 的倍数)

$x = \frac{π n}{2}$ ( $1$ 的倍数)

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ( $1$ 的倍数)

解题步骤 2.5

合并答案。

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解题步骤 2.5.1

将 $0$ 和 $\frac{π n}{2}$ 合并为 $\frac{π n}{2}$ 。

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.5.2

合并答案。

$x = \frac{π n}{4}$ ( $1$ 的倍数)

解题步骤 3

微积分学 示例

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