微积分学示例

$3 x {(2 x + 3)}^{- 0.5}$

解题步骤 1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int x {(2 x + 3)}^{- 0.5} d x$

解题步骤 2

使 $u_{1} = 2 x + 3$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{1} = 2 x + 3$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $2 x + 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $2 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 2.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 2.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) {u_{1}}^{- 0.5} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${u_{1}}^{- 0.5}$ 。

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{{u_{1}}^{- 0.5}}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${u_{1}}^{- 0.5}$ 移动到分母。

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2 {u_{1}}^{0.5}} d u_{1}$

解题步骤 4

使 $u_{2} = 2 {u_{1}}^{0.5}$ 。然后使 $d u_{2} = \frac{1}{{u_{1}}^{0.5}} d u_{1}$ ，以便 ${u_{1}}^{0.5} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{2} = 2 {u_{1}}^{0.5}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $2 {u_{1}}^{0.5}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 {u_{1}}^{0.5}]$

解题步骤 4.1.2

因为 $2$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $2 {u_{1}}^{0.5}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{0.5}]$ 。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{0.5}]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 0.5$ 。

$2 (0.5 {u_{1}}^{- 0.5})$

解题步骤 4.1.4

乘。

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解题步骤 4.1.4.1

将 $0.5$ 乘以 $2$ 。

$1 {u_{1}}^{- 0.5}$

解题步骤 4.1.4.2

将 ${u_{1}}^{- 0.5}$ 乘以 $1$ 。

${u_{1}}^{- 0.5}$

解题步骤 4.1.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{{u_{1}}^{0.5}}$

解题步骤 4.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$3 \int (\frac{\frac{{u_{2}}^{2}}{4}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{\frac{{u_{2}}^{2}}{4}}{2}$ 重写为乘积形式。

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} \cdot \frac{1}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 5.2

将 $\frac{{u_{2}}^{2}}{4}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4 \cdot 2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 5.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{8} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$3 (\frac{1}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 1 \cdot 3) \frac{1}{2} d u_{2})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$3 (\frac{1}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3) \frac{1}{2} d u_{2})$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $3$ 。

$\frac{3}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3) \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2})$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{3}{2 \cdot 2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2}$

解题步骤 9.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{4} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2}$

解题步骤 10

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{3}{4} (\int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} d u_{2} + \int - 3 d u_{2})$

解题步骤 11

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int - 3 d u_{2})$

解题步骤 12

根据幂法则， ${u_{2}}^{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 。

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int - 3 d u_{2})$

解题步骤 13

应用常数不变法则。

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) - 3 u_{2} + C)$

解题步骤 14

化简。

$\frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{3}}{12} - 3 u_{2}) + C$

解题步骤 15

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 15.1

使用 $2 {u_{1}}^{0.5}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{3}{4} (\frac{{(2 {u_{1}}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {u_{1}}^{0.5})) + C$

解题步骤 15.2

使用 $2 x + 3$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{3}{4} (\frac{{(2 {(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

化简每一项。

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解题步骤 16.1.1

化简分子。

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解题步骤 16.1.1.1

对 $2 {(2 x + 3)}^{0.5}$ 运用乘积法则。

$\frac{3}{4} (\frac{2^{3} {({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

解题步骤 16.1.1.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{3}{4} (\frac{8 {({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

解题步骤 16.1.1.3

将 ${({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 16.1.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3}{4} (\frac{8 {(2 x + 3)}^{0.5 \cdot 3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

解题步骤 16.1.1.3.2

将 $0.5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3}{4} (\frac{8 {(2 x + 3)}^{1.5}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

解题步骤 16.1.2

约去 $8$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 16.1.2.1

从 $8 {(2 x + 3)}^{1.5}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

解题步骤 16.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 16.1.2.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{4 (3)} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

解题步骤 16.1.2.2.2

约去公因数。

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{4 \cdot 3} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

解题步骤 16.1.2.2.3

重写表达式。

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

解题步骤 16.1.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

解题步骤 16.2

要将 $- 6 {(2 x + 3)}^{0.5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

解题步骤 16.3

组合 $- 6 {(2 x + 3)}^{0.5}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} + \frac{- 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3}) + C$

解题步骤 16.4

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3} + C$

解题步骤 16.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 16.5.1

约去公因数。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3} + C$

解题步骤 16.5.2

重写表达式。

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3) + C$

解题步骤 16.6

将 $3$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

解题步骤 16.7

运用分配律。

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

解题步骤 16.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.8.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 (2)} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

解题步骤 16.8.2

从 $2 {(2 x + 3)}^{1.5}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 (2)} (2 ({(2 x + 3)}^{1.5})) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

解题步骤 16.8.3

约去公因数。

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

解题步骤 16.8.4

重写表达式。

$\frac{1}{2} {(2 x + 3)}^{1.5} + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

解题步骤 16.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(2 x + 3)}^{1.5}$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

解题步骤 16.10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.10.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

解题步骤 16.10.2

从 $- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

解题步骤 16.10.3

约去公因数。

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

解题步骤 16.10.4

重写表达式。

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2} (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

解题步骤 16.11

组合 $- 9$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{- 9}{2} {(2 x + 3)}^{0.5} + C$

解题步骤 16.12

组合 $\frac{- 9}{2}$ 和 ${(2 x + 3)}^{0.5}$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

解题步骤 16.13

在公分母上合并分子。

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5} - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

解题步骤 16.14

化简分子。

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解题步骤 16.14.1

从 ${(2 x + 3)}^{1.5} - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}$ 中分解出因数 ${(2 x + 3)}^{0.5}$ 。

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解题步骤 16.14.1.1

从 ${(2 x + 3)}^{1.5}$ 中分解出因数 ${(2 x + 3)}^{0.5}$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

解题步骤 16.14.1.2

从 $- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}$ 中分解出因数 ${(2 x + 3)}^{0.5}$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 9}{2} + C$

解题步骤 16.14.1.3

从 ${(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 9$ 中分解出因数 ${(2 x + 3)}^{0.5}$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3 - 9)}{2} + C$

解题步骤 16.14.2

从 $3$ 中减去 $9$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x - 6)}{2} + C$

解题步骤 16.14.3

从 $2 x - 6$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 16.14.3.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 (x) - 6)}{2} + C$

解题步骤 16.14.3.2

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 2 \cdot - 3)}{2} + C$

解题步骤 16.14.3.3

从 $2 x + 2 \cdot - 3$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 (x - 3))}{2} + C$

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 2 (x - 3)}{2} + C$

解题步骤 16.15

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.15.1

约去公因数。

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 2 (x - 3)}{2} + C$

解题步骤 16.15.2

用 ${(2 x + 3)}^{0.5} (x - 3)$ 除以 $1$ 。

${(2 x + 3)}^{0.5} (x - 3) + C$

解题步骤 16.16

运用分配律。

${(2 x + 3)}^{0.5} x + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 3 + C$

解题步骤 16.17

将 $- 3$ 移到 ${(2 x + 3)}^{0.5}$ 的左侧。

${(2 x + 3)}^{0.5} x - 3 \cdot {(2 x + 3)}^{0.5} + C$

解题步骤 16.18

将 ${(2 x + 3)}^{0.5} x - 3 {(2 x + 3)}^{0.5}$ 中的因式重新排序。

$x {(2 x + 3)}^{0.5} - 3 {(2 x + 3)}^{0.5} + C$

微积分学 示例

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