微积分学示例

$f (x) = \ln (2 - x^{2} + 2 x^{4})$ ; $x = 1$

解题步骤 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

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解题步骤 1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$y = \ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = \ln (2 - 1^{2} + 2 {(1)}^{4})$

解题步骤 1.2.2

去掉圆括号。

$y = \ln (2 - 1^{2} + 2 \cdot 1^{4})$

解题步骤 1.2.3

去掉圆括号。

$y = \ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

解题步骤 1.2.4

化简 $\ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.1.1

一的任意次幂都为一。

$y = \ln (2 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4})$

解题步骤 1.2.4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y = \ln (2 - 1 + 2 {(1)}^{4})$

解题步骤 1.2.4.1.3

一的任意次幂都为一。

$y = \ln (2 - 1 + 2 \cdot 1)$

解题步骤 1.2.4.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \ln (2 - 1 + 2)$

解题步骤 1.2.4.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.2.4.2.1

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$y = \ln (1 + 2)$

解题步骤 1.2.4.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = \ln (3)$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = \ln (3)$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 2 - x^{2} + 2 x^{4}$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

解题步骤 2.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

解题步骤 2.1.3

使用 $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ 。

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

解题步骤 2.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

解题步骤 2.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

解题步骤 2.2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

解题步骤 2.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

解题步骤 2.2.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

解题步骤 2.2.7

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 2.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 (4 x^{3}))$

解题步骤 2.2.9

化简表达式。

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解题步骤 2.2.9.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$

解题步骤 2.2.9.2

重新排序 $\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$ 的因式。

$(- 2 x + 8 x^{3}) \frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}}$

解题步骤 2.3

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) (\frac{1}{2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4}})$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

化简分母。

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解题步骤 2.4.1.1

一的任意次幂都为一。

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4}}$

解题步骤 2.4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2 {(1)}^{4}}$

解题步骤 2.4.1.3

一的任意次幂都为一。

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2}$

解题步骤 2.4.1.5

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{1 + 2}$

解题步骤 2.4.1.6

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{3}$

解题步骤 2.4.2

化简项。

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解题步骤 2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$(- 2 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{3}$

解题步骤 2.4.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$(- 2 + 8 \cdot 1) \frac{1}{3}$

解题步骤 2.4.2.1.3

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$(- 2 + 8) \frac{1}{3}$

解题步骤 2.4.2.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $- 2$ 和 $8$ 相加。

$6 (\frac{1}{3})$

解题步骤 2.4.2.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (2) \frac{1}{3}$

解题步骤 2.4.2.2.2.2

约去公因数。

$3 \cdot 2 \frac{1}{3}$

解题步骤 2.4.2.2.2.3

重写表达式。

$2$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $2$ 和给定点 $(1, \ln (3))$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (\ln (3)) = 2 \cdot (x - (1))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - \ln (3) = 2 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $2 \cdot (x - 1)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y - \ln (3) = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - \ln (3) = 2 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y - \ln (3) = 2 x + 2 \cdot - 1$

解题步骤 3.3.1.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y - \ln (3) = 2 x - 2$

解题步骤 3.3.2

在等式两边都加上 $\ln (3)$ 。

$y = 2 x - 2 + \ln (3)$

解题步骤 4

微积分学 示例

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