微积分学示例

$(e^{- x} + 4 e^{2 x}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int e^{- x} + 4 e^{2 x} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int e^{- x} d x + \int 4 e^{2 x} d x$

解题步骤 3

使 $u_{1} = - x$ 。然后使 $d u_{1} = - d x$ ，以便 $- d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u_{1} = - x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 3.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 3.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int - e^{u_{1}} d u_{1} + \int 4 e^{2 x} d x$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 4 e^{2 x} d x$

解题步骤 5

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$- (e^{u_{1}} + C) + \int 4 e^{2 x} d x$

解题步骤 6

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$- (e^{u_{1}} + C) + 4 \int e^{2 x} d x$

解题步骤 7

使 $u_{2} = 2 x$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u_{2} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 7.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 7.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 7.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$- (e^{u_{1}} + C) + 4 \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 8

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- (e^{u_{1}} + C) + 4 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- (e^{u_{1}} + C) + 4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{4}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 10.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 10.2.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 10.2.2.2

约去公因数。

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 10.2.2.3

重写表达式。

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{2}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 10.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$- (e^{u_{1}} + C) + 2 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 11

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$- (e^{u_{1}} + C) + 2 (e^{u_{2}} + C)$

解题步骤 12

化简。

$- e^{u_{1}} + 2 e^{u_{2}} + C$

解题步骤 13

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 13.1

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- e^{- x} + 2 e^{u_{2}} + C$

解题步骤 13.2

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- e^{- x} + 2 e^{2 x} + C$

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