微积分学示例

$\cos^{4} (2 x)$

解题步骤 1

使 $u_{1} = 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

设 $u_{1} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \cos^{4} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2

组合 $\cos^{4} (u_{1})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{\cos^{4} (u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \cos^{4} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 4

通过提取公因式进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} \int {\cos (u_{1})}^{2 (2)} d u_{1}$

解题步骤 4.2

将 ${\cos (u_{1})}^{2 (2)}$ 重写为乘方形式。

$\frac{1}{2} \int {(\cos^{2} (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

解题步骤 5

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (u_{1})$ 的形式。

$\frac{1}{2} \int {(\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

解题步骤 6

使 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

设 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1

对 $2 u_{1}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

解题步骤 6.1.2

因为 $2$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $2 u_{1}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 6.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 6.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{2})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{2})}{2})}^{2} d u_{2})$

解题步骤 8

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{2})}{2})}^{2} d u_{2}$

解题步骤 8.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} \int {(\frac{1 + \cos (u_{2})}{2})}^{2} d u_{2}$

解题步骤 8.2

将 $\frac{1 + \cos (u_{2})}{2}$ 重写为乘积形式。

$\frac{1}{4} \int {(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2})))}^{2} d u_{2}$

解题步骤 8.3

展开 ${(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2})))}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.1

将幂重写为乘积形式。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2}))) d u_{2}$

解题步骤 8.3.2

运用分配律。

$\frac{1}{4} \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2}))) d u_{2}$

解题步骤 8.3.3

运用分配律。

$\frac{1}{4} \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.3.4

运用分配律。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.3.5

运用分配律。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.3.6

运用分配律。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.3.7

将 $\frac{1}{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{1}{4} \int 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.3.8

将 $\frac{1}{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{1}{4} \int 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.3.9

移动 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.3.10

将 $\frac{1}{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{1}{4} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.3.11

将 $\frac{1}{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{1}{4} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.3.12

移动 $\cos (u_{2})$ 。

$\frac{1}{4} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.3.13

将 $\frac{1}{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{1}{4} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) + 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.3.14

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} \int 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.15

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.16

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.17

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.18

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.19

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.20

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.21

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\cos (u_{2})$ 。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.22

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.23

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\cos (u_{2})$ 。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.24

将 $\frac{\cos (u_{2})}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.25

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.26

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\cos (u_{2})$ 。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.27

将 $\frac{\cos (u_{2})}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2 \cdot 2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.28

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.3.29

组合 $\frac{\cos (u_{2})}{4}$ 和 $\cos (u_{2})$ 。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2}) \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

解题步骤 8.3.30

对 $\cos (u_{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{2}) \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

解题步骤 8.3.31

对 $\cos (u_{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{2}) \cos^{1} (u_{2})}{4} d u_{2}$

解题步骤 8.3.32

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{{\cos (u_{2})}^{1 + 1}}{4} d u_{2}$

解题步骤 8.3.33

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

解题步骤 8.3.34

将 $\frac{\cos (u_{2})}{4}$ 和 $\frac{\cos (u_{2})}{4}$ 相加。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + 2 \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

解题步骤 8.3.35

组合 $2$ 和 $\frac{\cos (u_{2})}{4}$ 。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

解题步骤 8.3.36

将 $\frac{2 \cos (u_{2})}{4}$ 和 $\frac{\cos^{2} (u_{2})}{4}$ 重新排序。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{2 \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

解题步骤 8.3.37

将 $\frac{1}{4}$ 和 $\frac{\cos^{2} (u_{2})}{4}$ 重新排序。

$\frac{1}{4} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

解题步骤 8.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.4.1

从 $2 \cos (u_{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{4} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (\cos (u_{2}))}{4} d u_{2}$

解题步骤 8.4.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{4} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{2})}{2 \cdot 2} d u_{2}$

解题步骤 8.4.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{4} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{2})}{2 \cdot 2} d u_{2}$

解题步骤 8.4.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{4} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

解题步骤 9

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{4} (\int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{2}) d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 11

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (u_{2})$ 的形式。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2} d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 13

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2 \cdot 4} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 13.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 14

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (\int d u_{2} + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 15

应用常数不变法则。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2} + C + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 16

使 $u_{3} = 2 u_{2}$ 。然后使 $d u_{3} = 2 d u_{2}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.1

设 $u_{3} = 2 u_{2}$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.1.1

对 $2 u_{2}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$

解题步骤 16.1.2

因为 $2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以 $2 u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$

解题步骤 16.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 16.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 16.2

使用 $u_{3}$ 和 $d u_{3}$ 重写该问题。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2} + C + \int \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 17

组合 $\cos (u_{3})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2} + C + \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 18

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 19

$\cos (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的积分为 $\sin (u_{3})$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C)) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 20

应用常数不变法则。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C)) + \frac{1}{4} u_{2} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 21

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C)) + \frac{u_{2}}{4} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 22

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C)) + \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 23

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\sin (u_{2})$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C)) + \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

解题步骤 24

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 24.1

化简。

$\frac{1}{4} (\frac{u_{2}}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} + \frac{u_{2}}{4} + \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C$

解题步骤 24.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 24.2.1

要将 $\frac{u_{2}}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{u_{2}}{8} + \frac{u_{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sin (u_{3})}{16} + \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C$

解题步骤 24.2.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 24.2.2.1

将 $\frac{u_{2}}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{u_{2}}{8} + \frac{u_{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\sin (u_{3})}{16} + \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C$

解题步骤 24.2.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{u_{2}}{8} + \frac{u_{2} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} + \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C$

解题步骤 24.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{4} (\frac{u_{2} + u_{2} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} + \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C$

解题步骤 24.2.4

将 $2$ 移到 $u_{2}$ 的左侧。

$\frac{1}{4} (\frac{u_{2} + 2 \cdot u_{2}}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} + \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C$

解题步骤 24.2.5

将 $u_{2}$ 和 $2 u_{2}$ 相加。

$\frac{1}{4} (\frac{3 u_{2}}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} + \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C$

解题步骤 25

代回替换每一个积分法替换变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 25.1

使用 $2 u_{1}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{3 (2 u_{1})}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} + \frac{\sin (2 u_{1})}{2}) + C$

解题步骤 25.2

使用 $2 u_{2}$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{3 (2 u_{1})}{8} + \frac{\sin (2 u_{2})}{16} + \frac{\sin (2 u_{1})}{2}) + C$

解题步骤 25.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{3 (2 (2 x))}{8} + \frac{\sin (2 u_{2})}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

解题步骤 25.4

使用 $2 u_{1}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{3 (2 (2 x))}{8} + \frac{\sin (2 (2 u_{1}))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

解题步骤 25.5

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{3 (2 (2 x))}{8} + \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

解题步骤 26

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 26.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 26.1.1

约去 $2$ 和 $8$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 26.1.1.1

从 $3 (2 (2 x))$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2 (3 (2 x))}{8} + \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

解题步骤 26.1.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 26.1.1.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2 (3 (2 x))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

解题步骤 26.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{4} (\frac{2 (3 (2 x))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

解题步骤 26.1.1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{4} (\frac{3 (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

解题步骤 26.1.2

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 26.1.2.1

从 $3 (2 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2 (3 (x))}{4} + \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

解题步骤 26.1.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 26.1.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2 (3 (x))}{2 \cdot 2} + \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

解题步骤 26.1.2.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{4} (\frac{2 (3 (x))}{2 \cdot 2} + \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

解题步骤 26.1.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{4} (\frac{3 (x)}{2} + \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

解题步骤 26.1.3

乘以 $2 \cdot 2 \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 26.1.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{3 x}{2} + \frac{\sin (4 \cdot 2 x)}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

解题步骤 26.1.3.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{3 x}{2} + \frac{\sin (8 x)}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

解题步骤 26.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{3 x}{2} + \frac{\sin (8 x)}{16} + \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

解题步骤 26.2

运用分配律。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (8 x)}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

解题步骤 26.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 26.3.1

乘以 $\frac{1}{4} \cdot \frac{3 x}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 26.3.1.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{3 x}{2}$ 。

$\frac{3 x}{4 \cdot 2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (8 x)}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

解题步骤 26.3.1.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 x}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (8 x)}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

解题步骤 26.3.2

乘以 $\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (8 x)}{16}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 26.3.2.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{\sin (8 x)}{16}$ 。

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (8 x)}{4 \cdot 16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

解题步骤 26.3.2.2

将 $4$ 乘以 $16$ 。

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (8 x)}{64} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

解题步骤 26.3.3

乘以 $\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 26.3.3.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{\sin (4 x)}{2}$ 。

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (8 x)}{64} + \frac{\sin (4 x)}{4 \cdot 2} + C$

解题步骤 26.3.3.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (8 x)}{64} + \frac{\sin (4 x)}{8} + C$

解题步骤 27

重新排序项。

$\frac{3}{8} x + \frac{1}{64} \sin (8 x) + \frac{1}{8} \sin (4 x) + C$

微积分学 示例

微积分学示例