微积分学示例

$(x^{2} - 1) d x - (y^{2} + x) d y$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int (x^{2} - 1) d x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

解题步骤 2

由于 $d$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $d$ 移到积分外。

$d \int (x^{2} - 1) x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

解题步骤 3

乘以 $(x^{2} - 1) x$ 。

$d \int x^{2} x - 1 x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$d \int x^{2} x^{1} - 1 x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$d \int x^{2 + 1} - 1 x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

解题步骤 4.1.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$d \int x^{3} - 1 x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

解题步骤 4.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$d \int x^{3} - x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$d (\int x^{3} d x + \int - x d x) + \int - (y^{2} + x) d y d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - x d x) + \int - (y^{2} + x) d y d x$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - \int x d x) + \int - (y^{2} + x) d y d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)) + \int - (y^{2} + x) d y d x$

解题步骤 9

由于 $- d y$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- d y$ 移到积分外。

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)) - d y \int y^{2} + x d x$

解题步骤 10

将单个积分拆分为多个积分。

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)) - d y (\int y^{2} d x + \int x d x)$

解题步骤 11

应用常数不变法则。

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)) - d y (y^{2} x + C + \int x d x)$

解题步骤 12

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)) - d y (y^{2} x + C + \frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

化简。

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解题步骤 13.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C)) - d y (y^{2} x + C + \frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 13.1.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$d (\frac{x^{4}}{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C)) - d y (y^{2} x + C + \frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 13.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$d (\frac{x^{4}}{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C)) - d y (y^{2} x + C + \frac{x^{2}}{2} + C)$

解题步骤 13.2

化简。

$\frac{d x^{4}}{4} - d \frac{x^{2}}{2} - d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2}) + C$

解题步骤 13.3

化简。

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解题步骤 13.3.1

组合 $\frac{x^{2}}{2}$ 和 $d$ 。

$\frac{d x^{4}}{4} - \frac{x^{2} d}{2} - d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2}) + C$

解题步骤 13.3.2

要将 $- d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- \frac{x^{2} d}{2} + \frac{d x^{4}}{4} - d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2}) \cdot \frac{4}{4} + C$

解题步骤 13.3.3

组合 $- d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2})$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$- \frac{x^{2} d}{2} + \frac{d x^{4}}{4} + \frac{- d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2}) \cdot 4}{4} + C$

解题步骤 13.3.4

在公分母上合并分子。

$- \frac{x^{2} d}{2} + \frac{d x^{4} - d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2}) \cdot 4}{4} + C$

解题步骤 13.3.5

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{x^{2} d}{2} + \frac{d x^{4} - 4 d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2})}{4} + C$

解题步骤 14

重新排序项。

$- \frac{1}{2} x^{2} d + \frac{1}{4} (d x^{4} - 4 d y (y^{2} x + \frac{1}{2} x^{2})) + C$

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