微积分学示例

$\sin (2 x) \geq \sin (x)$

解题步骤 1

从不等式两边同时减去 $\sin (x)$ 。

$\sin (2 x) - \sin (x) \geq 0$

解题步骤 2

使用正弦倍角公式。

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) \geq 0$

解题步骤 3

从 $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 3.1

从 $2 \sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

解题步骤 3.2

从 $- \sin (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

解题步骤 3.3

从 $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 5

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 5.2.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 5.2.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

将 $2 \cos (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $2 \cos (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $2 \cos (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 \cos (x) = 1$

解题步骤 6.2.2

将 $2 \cos (x) = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $2 \cos (x) = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.4

化简右边。

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解题步骤 6.2.4.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 6.2.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

解题步骤 6.2.6

化简 $2 π - \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 6.2.6.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 6.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 6.2.6.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 6.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 6.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 6.2.6.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 6.2.6.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 6.2.7

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.2.8

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

最终解为使 $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

将 $2 π n$ 和 $π + 2 π n$ 合并为 $π n$ 。

$x = π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

使用每一个根建立验证区间。

$0 < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < π$

$π < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < 2 π$

$2 π < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$

解题步骤 10

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 10.1

检验区间 $0 < x < \frac{π}{3}$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 10.1.1

选择区间 $0 < x < \frac{π}{3}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 1$

解题步骤 10.1.2

使用原不等式中的 $1$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (1)) \geq \sin (1)$

解题步骤 10.1.3

左边的 $0.90929742$ 大于右边的 $0.84147098$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

解题步骤 10.2

检验区间 $\frac{π}{3} < x < π$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 10.2.1

选择区间 $\frac{π}{3} < x < π$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 2$

解题步骤 10.2.2

使用原不等式中的 $2$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (2)) \geq \sin (2)$

解题步骤 10.2.3

左边的 $- 0.75680249$ 小于右边的 $0.90929742$ ，即给定的命题是假命题。

False

解题步骤 10.3

检验区间 $π < x < \frac{5 π}{3}$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 10.3.1

选择区间 $π < x < \frac{5 π}{3}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 4$

解题步骤 10.3.2

使用原不等式中的 $4$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (4)) \geq \sin (4)$

解题步骤 10.3.3

左边的 $0.98935824$ 大于右边的 $- 0.75680249$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

解题步骤 10.4

检验区间 $\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 10.4.1

选择区间 $\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 6$

解题步骤 10.4.2

使用原不等式中的 $6$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (6)) \geq \sin (6)$

解题步骤 10.4.3

左边的 $- 0.53657291$ 小于右边的 $- 0.27941549$ ，即给定的命题是假命题。

False

解题步骤 10.5

检验区间 $2 π < x < \frac{7 π}{3}$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 10.5.1

选择区间 $2 π < x < \frac{7 π}{3}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 7$

解题步骤 10.5.2

使用原不等式中的 $7$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (7)) \geq \sin (7)$

解题步骤 10.5.3

左边的 $0.99060735$ 大于右边的 $0.65698659$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

解题步骤 10.6

检验区间 $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 10.6.1

选择区间 $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 9$

解题步骤 10.6.2

使用原不等式中的 $9$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (9)) \geq \sin (9)$

解题步骤 10.6.3

左边的 $- 0.75098724$ 小于右边的 $0.41211848$ ，即给定的命题是假命题。

False

解题步骤 10.7

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$0 < x < \frac{π}{3}$ 为真

$\frac{π}{3} < x < π$ 为假

$π < x < \frac{5 π}{3}$ 为真

$\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ 为假

$2 π < x < \frac{7 π}{3}$ 为真

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ 为假

$0 < x < \frac{π}{3}$ 为真

$\frac{π}{3} < x < π$ 为假

$π < x < \frac{5 π}{3}$ 为真

$\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ 为假

$2 π < x < \frac{7 π}{3}$ 为真

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ 为假

解题步骤 11

解由使等式成立的所有区间组成。

$0 + 2 π n \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 π n$ or $π + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 π n$ or $2 π + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{3} + 2 π n$ , for any integer $n$

解题步骤 12

合并区间。

$π + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 π n or 2 π n \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 π n or 2 π + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 13

把不等式转换成区间计数法。

$[2 π + 2 π n, \frac{7 π}{3} + 2 π n] \cup [π + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n] \cup [2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n]$

解题步骤 14

微积分学 示例

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