微积分学示例

$x (x + 9) \cdot (x + 6)$

解题步骤 1

使 $u = x + 6$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x + 6$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x + 6$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 6]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.1.4

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int (u - 6) (u - 6 + 9) \cdot u d u$

解题步骤 2

将 $- 6$ 和 $9$ 相加。

$\int (u - 6) (u + 3) u d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int (u (u + 3) - 6 (u + 3)) u d u$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\int (u \cdot u + u \cdot 3 - 6 (u + 3)) u d u$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\int (u \cdot u + u \cdot 3 - 6 u - 6 \cdot 3) u d u$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$\int (u \cdot u + u \cdot 3) u + (- 6 u - 6 \cdot 3) u d u$

解题步骤 3.5

运用分配律。

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot 3 u + (- 6 u - 6 \cdot 3) u d u$

解题步骤 3.6

运用分配律。

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot 3 u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

解题步骤 3.7

将 $u$ 和 $3$ 重新排序。

$\int u \cdot u \cdot u + 3 \cdot u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

解题步骤 3.8

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{1} u \cdot u + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

解题步骤 3.9

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{1} u^{1} u + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

解题步骤 3.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{1 + 1} u + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

解题步骤 3.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int u^{2} u + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

解题步骤 3.12

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{2} u^{1} + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

解题步骤 3.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{2 + 1} + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

解题步骤 3.14

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int u^{3} + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

解题步骤 3.15

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{3} + 3 (u^{1} u) - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

解题步骤 3.16

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{3} + 3 (u^{1} u^{1}) - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

解题步骤 3.17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{3} + 3 u^{1 + 1} - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

解题步骤 3.18

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

解题步骤 3.19

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 (u^{1} u) - 6 \cdot 3 u d u$

解题步骤 3.20

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 (u^{1} u^{1}) - 6 \cdot 3 u d u$

解题步骤 3.21

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 u^{1 + 1} - 6 \cdot 3 u d u$

解题步骤 3.22

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 u^{2} - 6 \cdot 3 u d u$

解题步骤 3.23

将 $- 6$ 乘以 $3$ 。

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 u^{2} - 18 u d u$

解题步骤 3.24

从 $3 u^{2}$ 中减去 $6 u^{2}$ 。

$\int u^{3} - 3 u^{2} - 18 u d u$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int u^{3} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int - 18 u d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 3 u^{2} d u + \int - 18 u d u$

解题步骤 6

由于 $- 3$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 \int u^{2} d u + \int - 18 u d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int - 18 u d u$

解题步骤 8

由于 $- 18$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 18$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) - 18 \int u d u$

解题步骤 9

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) - 18 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} - 18 (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u^{2}$ 。

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} - 18 \frac{u^{2}}{2} + C$

解题步骤 10.2.2

组合 $- 18$ 和 $\frac{u^{2}}{2}$ 。

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{- 18 u^{2}}{2} + C$

解题步骤 10.2.3

约去 $- 18$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.3.1

从 $- 18 u^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 (- 9 u^{2})}{2} + C$

解题步骤 10.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 (- 9 u^{2})}{2 (1)} + C$

解题步骤 10.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 (- 9 u^{2})}{2 \cdot 1} + C$

解题步骤 10.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{- 9 u^{2}}{1} + C$

解题步骤 10.2.3.2.4

用 $- 9 u^{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} - 9 u^{2} + C$

解题步骤 11

使用 $x + 6$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{{(x + 6)}^{4}}{4} - {(x + 6)}^{3} - 9 {(x + 6)}^{2} + C$

解题步骤 12

重新排序项。

$\frac{1}{4} {(x + 6)}^{4} - {(x + 6)}^{3} - 9 {(x + 6)}^{2} + C$

微积分学 示例

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