微积分学示例

$\frac{x}{y} + \sqrt{x + y} = e^{x y}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + y}$ 重写成 ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x}{y} + {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = e^{x y}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\frac{x}{y} + {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (e^{x y})$

解题步骤 3

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $\frac{x}{y} + {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$\frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + y$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + y$ 。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + y]$

解题步骤 3.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y]$

解题步骤 3.3.1.3

使用 $x + y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y]$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $x + y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.3.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + y')$

解题步骤 3.3.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + y')$

解题步骤 3.3.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + y')$

解题步骤 3.3.7

在公分母上合并分子。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + y')$

解题步骤 3.3.8

化简分子。

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解题步骤 3.3.8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + y')$

解题步骤 3.3.8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + y')$

解题步骤 3.3.9

将负号移到分数的前面。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{- \frac{1}{2}} (1 + y')$

解题步骤 3.3.10

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{{(x + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (1 + y')$

解题步骤 3.3.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

合并项。

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解题步骤 3.4.1.1

要将 $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ 。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 3.4.1.2

组合 $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')$ 和 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ 。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') y^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 3.4.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{y - x y' + \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') y^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 3.4.1.4

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{y - x y' + \frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')}{y^{2}}$

解题步骤 3.4.2

重新排序项。

$\frac{- x y' + (1 + y') \frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y}{y^{2}}$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x y$ 。

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解题步骤 4.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x y$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 4.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 4.1.3

使用 $x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 4.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$e^{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$e^{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x y} (x y' + y \cdot 1)$

解题步骤 4.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$e^{x y} (x y' + y)$

解题步骤 4.6

化简。

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解题步骤 4.6.1

运用分配律。

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y$

解题步骤 4.6.2

重新排序项。

$e^{x y} x y' + e^{x y} y$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{- x y' + (1 + y') (\frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}) + y}{y^{2}} = e^{x y} x y' + e^{x y} y$

解题步骤 6

求解 $y'$ 。

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解题步骤 6.1

两边同时乘以 $y^{2}$ 。

$\frac{- x y' + (1 + y') \frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y}{y^{2}} y^{2} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

化简左边。

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解题步骤 6.2.1.1

化简 $\frac{- x y' + (1 + y') \frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y}{y^{2}} y^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.1.1.1

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{- x y' + (1 + y') \frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y}{y^{2}} y^{2} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

解题步骤 6.2.1.1.1.2

重写表达式。

$- x y' + (1 + y') \frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

解题步骤 6.2.1.1.2

将 $1 + y'$ 乘以 $\frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- x y' + \frac{(1 + y') y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

解题步骤 6.2.1.1.3

要将 $- x y'$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- x y' \cdot \frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(1 + y') y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

解题步骤 6.2.1.1.4

化简项。

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解题步骤 6.2.1.1.4.1

组合 $- x y'$ 和 $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- x y' (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(1 + y') y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

解题步骤 6.2.1.1.4.2

在公分母上合并分子。

$\frac{- x y' (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + (1 + y') y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

解题步骤 6.2.1.1.5

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.1.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + (1 + y') y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

解题步骤 6.2.1.1.5.2

运用分配律。

$\frac{- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 1 y^{2} + y' y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

解题步骤 6.2.1.1.5.3

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{2} + y' y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

解题步骤 6.2.1.1.6

要将 $y$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{2} + y' y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y \cdot \frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

解题步骤 6.2.1.1.7

组合 $y$ 和 $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{2} + y' y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

解题步骤 6.2.1.1.8

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{2} + y' y^{2} + y (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

解题步骤 6.2.1.1.9

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{2} + y' y^{2} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

解题步骤 6.2.1.1.10

从 $- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y^{2} + y' y^{2} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

解题步骤 6.2.1.1.11

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (- y^{2}) + y' y^{2} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

解题步骤 6.2.1.1.12

从 $- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (- y^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2}) + y' y^{2} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

解题步骤 6.2.1.1.13

从 $y' y^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2}) - (- y' y^{2}) + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

解题步骤 6.2.1.1.14

从 $- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2}) - (- y' y^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2}) + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

解题步骤 6.2.1.1.15

从 $2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2}) - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

解题步骤 6.2.1.1.16

从 $- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2}) - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

解题步骤 6.2.1.1.17

化简表达式。

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解题步骤 6.2.1.1.17.1

将 $- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ 重写为 $- 1 (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ 。

$\frac{- 1 (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

解题步骤 6.2.1.1.17.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

解题步骤 6.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.1

化简 $(e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1

运用分配律。

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = e^{x y} x y' y^{2} + e^{x y} y \cdot y^{2}$

解题步骤 6.2.2.1.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.2.1

移动 $y^{2}$ 。

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = e^{x y} x y' y^{2} + e^{x y} (y^{2} y)$

解题步骤 6.2.2.1.2.2

将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.2.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = e^{x y} x y' y^{2} + e^{x y} (y^{2} y^{1})$

解题步骤 6.2.2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = e^{x y} x y' y^{2} + e^{x y} y^{2 + 1}$

解题步骤 6.2.2.1.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = e^{x y} x y' y^{2} + e^{x y} y^{3}$

解题步骤 6.2.2.1.3

将 $e^{x y} x y' y^{2} + e^{x y} y^{3}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = x y' y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}$

解题步骤 6.2.2.1.4

将 $x$ 和 $y'$ 重新排序。

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}$

解题步骤 6.3

求解 $y'$ 。

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解题步骤 6.3.1

两边同时乘以 $2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2

化简。

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解题步骤 6.3.2.1

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1.1

化简 $- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.1.1

约去 $2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1.1.1

将 $- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.1.1.2

约去公因数。

解题步骤 6.3.2.1.1.1.3

重写表达式。

$- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.1.2

运用分配律。

$- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - - y^{2} - (- y' y^{2}) - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.1.3

化简。

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解题步骤 6.3.2.1.1.3.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 (x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - - y^{2} - (- y' y^{2}) - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.1.3.2

乘以 $- - y^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.1.3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 (x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + 1 y^{2} - (- y' y^{2}) - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.1.3.2.2

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- 2 (x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y^{2} - (- y' y^{2}) - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.1.3.3

乘以 $- (- y' y^{2})$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.1.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 (x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y^{2} + 1 (y' y^{2}) - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.1.3.3.2

将 $y'$ 乘以 $1$ 。

$- 2 (x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y^{2} + y' y^{2} - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.1.3.4

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 (x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y^{2} + y' y^{2} + 2 (y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.1.4

去掉圆括号。

$- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{2} + y' y^{2} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.1.5

化简表达式。

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解题步骤 6.3.2.1.1.5.1

移动 $x$ 。

$- 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{2} + y' y^{2} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.1.5.2

移动 $- 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y^{2} + y' y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.1.5.3

将 $y^{2}$ 和 $y' y^{2}$ 重新排序。

$y' y^{2} + y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

化简 $(y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ 。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

运用分配律。

$y' y^{2} + y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = y' x y^{2} e^{x y} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y^{3} e^{x y} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

重新排序。

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解题步骤 6.3.2.2.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$y' y^{2} + y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{3} e^{x y} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.2.1.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$y' y^{2} + y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.3

求解 $y'$ 。

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解题步骤 6.3.3.1

从等式两边同时减去 $2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' y^{2} + y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.3.2

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.3.3.2.1

从等式两边同时减去 $y^{2}$ 。

$y' y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2}$

解题步骤 6.3.3.2.2

从等式两边同时减去 $2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.3.3

从 $y' y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 6.3.3.3.1

从 $y' y^{2}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (y^{2}) - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.3.3.2

从 $- 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (y^{2}) + y' (- 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.3.3.3

从 $- 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (y^{2}) + y' (- 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y' (- 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.3.3.4

从 $y' (y^{2}) + y' (- 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y' (- 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.3.3.5

从 $y' (y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y' (- 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.3.4

将 $y' (y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 中的每一项除以 $y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 并化简。

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解题步骤 6.3.3.4.1

将 $y' (y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 中的每一项都除以 $y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{y' (y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- y^{2}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.3.4.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.3.4.2.1

约去公因数。

解题步骤 6.3.3.4.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- y^{2}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.3.4.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.3.4.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{2}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.3.4.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{2}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.3.4.3.2

化简项。

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解题步骤 6.3.3.4.3.2.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.3.4.3.2.2

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.3.4.3.2.3

从 $2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 6.3.3.4.3.2.3.1

从 $2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.3.4.3.2.3.2

从 $- y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y (- y) - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.3.4.3.2.3.3

从 $- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y (- y) + y (- 2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.3.4.3.2.3.4

从 $y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y (- y)$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y) + y (- 2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.3.4.3.2.3.5

从 $y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y) + y (- 2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y - 2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y - 2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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