微积分学示例

$- \sqrt{x y} = x - 20 y$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x y}$ 重写成 ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- {(x y)}^{\frac{1}{2}} = x - 20 y$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (- {(x y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x - 20 y)$

解题步骤 3

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x y$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x y$ 。

$- (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

解题步骤 3.2.3

使用 $x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

解题步骤 3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

解题步骤 3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$- (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

解题步骤 3.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

解题步骤 3.7

合并分数。

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解题步骤 3.7.1

将负号移到分数的前面。

$- (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

解题步骤 3.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- (\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x y])$

解题步骤 3.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- (\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y])$

解题步骤 3.8

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$- \frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.9

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- \frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (x y' + y \cdot 1)$

解题步骤 3.11

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (x y' + y)$

解题步骤 3.12

化简。

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解题步骤 3.12.1

对 $x y$ 运用乘积法则。

$- \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} (x y' + y)$

解题步骤 3.12.2

运用分配律。

$- \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} (x y') - \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

解题步骤 3.12.3

合并项。

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解题步骤 3.12.3.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}} y' - \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

解题步骤 3.12.3.2

组合 $y'$ 和 $\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{y' x}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

解题步骤 3.12.3.3

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$- \frac{y' x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

解题步骤 3.12.3.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.12.3.4.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{y' (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

解题步骤 3.12.3.4.2

将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.12.3.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{y' (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

解题步骤 3.12.3.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{y' x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

解题步骤 3.12.3.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{y' x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

解题步骤 3.12.3.4.4

在公分母上合并分子。

$- \frac{y' x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

解题步骤 3.12.3.4.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

解题步骤 3.12.3.5

组合 $y$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.12.3.6

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $y^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$- \frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.12.3.7

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.12.3.7.1

将 $y$ 乘以 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.12.3.7.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.12.3.7.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.12.3.7.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.12.3.7.3

在公分母上合并分子。

$- \frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.12.3.7.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $x - 20 y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 20 y]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 20 y]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 20 y]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 20 y]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $- 20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 20 y$ 对 $x$ 的导数是 $- 20 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$1 - 20 \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 4.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$1 - 20 y'$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- \frac{y' (x^{\frac{1}{2}})}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 1 - 20 y'$

解题步骤 6

求解 $y'$ 。

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解题步骤 6.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.1.1

在等式两边都加上 $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} - 1 + 20 y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.1.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$- \frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20 y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1$

解题步骤 6.2

从 $- \frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20 y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 6.2.1

从 $- \frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}) + 20 y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1$

解题步骤 6.2.2

从 $20 y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}) + y' \cdot 20 = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1$

解题步骤 6.2.3

从 $y' (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}) + y' \cdot 20$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20) = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1$

解题步骤 6.3

将 $y' (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20) = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1$ 中的每一项除以 $- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20$ 并化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $y' (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20) = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1$ 中的每一项都除以 $- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20$ 。

$\frac{y' (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20)}{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20} = \frac{\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20} + \frac{1}{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

约去公因数。

解题步骤 6.3.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20} + \frac{1}{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20}$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1}{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20}$

解题步骤 6.3.3.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

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解题步骤 6.3.3.2.1

将 $\frac{\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1}{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20}$ 乘以 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$y' = \frac{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1}{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20}$

解题步骤 6.3.3.2.2

合并。

$y' = \frac{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} (\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20)}$

解题步骤 6.3.3.3

运用分配律。

$y' = \frac{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

解题步骤 6.3.3.4

通过相约进行化简。

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解题步骤 6.3.3.4.1

约去 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.4.1.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' = \frac{2 x^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}}) \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

解题步骤 6.3.3.4.1.2

约去公因数。

解题步骤 6.3.3.4.1.3

重写表达式。

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

解题步骤 6.3.3.4.2

通过指数相加将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.3.3.4.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

解题步骤 6.3.3.4.2.2

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{y^{\frac{1 + 1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

解题步骤 6.3.3.4.2.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y' = \frac{y^{\frac{2}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

解题步骤 6.3.3.4.2.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$y' = \frac{y^{1} + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

解题步骤 6.3.3.4.3

化简 $y^{1}$ 。

$y' = \frac{y + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

解题步骤 6.3.3.4.4

约去 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.4.4.1

将 $- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ 中前置负号移到分子中。

$y' = \frac{y + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \frac{- x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

解题步骤 6.3.3.4.4.2

从 $2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' = \frac{y + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{2 y^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{- x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

解题步骤 6.3.3.4.4.3

约去公因数。

$y' = \frac{y + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \frac{- x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

解题步骤 6.3.3.4.4.4

重写表达式。

$y' = \frac{y + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

解题步骤 6.3.3.4.5

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.3.3.4.5.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' = \frac{y + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

解题步骤 6.3.3.4.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = \frac{y + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

解题步骤 6.3.3.4.5.3

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{y + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{x^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot - 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

解题步骤 6.3.3.4.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y' = \frac{y + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{x^{\frac{2}{2}} \cdot - 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

解题步骤 6.3.3.4.5.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$y' = \frac{y + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{x^{1} \cdot - 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

解题步骤 6.3.3.4.6

化简 $x^{1} \cdot - 1$ 。

$y' = \frac{y + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{x \cdot - 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

解题步骤 6.3.3.5

化简分子。

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解题步骤 6.3.3.5.1

从 $y + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1$ 中分解出因数 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.3.3.5.1.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 6.3.3.5.1.1.1

移动 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' = \frac{y + 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 y^{\frac{1}{2}}}{x \cdot - 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

解题步骤 6.3.3.5.1.1.2

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' = \frac{y + 2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{x \cdot - 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

解题步骤 6.3.3.5.1.2

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = \frac{y^{1} + 2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{x \cdot - 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

解题步骤 6.3.3.5.1.3

从 $y^{1}$ 中分解出因数 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{x \cdot - 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

解题步骤 6.3.3.5.1.4

从 $2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}})}{x \cdot - 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

解题步骤 6.3.3.5.1.5

从 $y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}})}{x \cdot - 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

解题步骤 6.3.3.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{x \cdot - 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

解题步骤 6.3.3.6

化简分母。

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解题步骤 6.3.3.6.1

从 $x \cdot - 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.3.3.6.1.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 6.3.3.6.1.1.1

将 $x$ 和 $- 1$ 重新排序。

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{- 1 \cdot x + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

解题步骤 6.3.3.6.1.1.2

移动 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{- 1 \cdot x + 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 20 y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.3.6.1.1.3

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{- 1 \cdot x + 2 \cdot 20 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.3.6.1.2

从 $- 1 \cdot x$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot x^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 20 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.3.6.1.3

从 $2 \cdot 20 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 20 y^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 6.3.3.6.1.4

从 $x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 20 y^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 20 y^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 6.3.3.6.2

将 $- 1 x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $- x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 20 y^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 6.3.3.6.3

将 $2$ 乘以 $20$ 。

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} + 40 y^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 6.3.3.7

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 6.3.3.7.1

从 $- x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} (- (x^{\frac{1}{2}}) + 40 y^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 6.3.3.7.2

从 $40 y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} (- (x^{\frac{1}{2}}) - (- 40 y^{\frac{1}{2}}))}$

解题步骤 6.3.3.7.3

从 $- (x^{\frac{1}{2}}) - (- 40 y^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} (- (x^{\frac{1}{2}} - 40 y^{\frac{1}{2}}))}$

解题步骤 6.3.3.7.4

重写负数。

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解题步骤 6.3.3.7.4.1

将 $- (x^{\frac{1}{2}} - 40 y^{\frac{1}{2}})$ 重写为 $- 1 (x^{\frac{1}{2}} - 40 y^{\frac{1}{2}})$ 。

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} (- 1 (x^{\frac{1}{2}} - 40 y^{\frac{1}{2}}))}$

解题步骤 6.3.3.7.4.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - 40 y^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - 40 y^{\frac{1}{2}})}$

微积分学 示例

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