微积分学示例

$x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}} = 1$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}) = \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.2.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.2.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.2.5.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.2.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$ 。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} y')$

解题步骤 2.3.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y')$

解题步骤 2.3.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y')$

解题步骤 2.3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} y')$

解题步骤 2.3.7

化简分子。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 3}{3}} y')$

解题步骤 2.3.7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{\frac{- 2}{3}} y')$

解题步骤 2.3.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{- \frac{2}{3}} y')$

解题步骤 2.3.9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3} y')$

解题步骤 2.3.10

组合 $\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 和 $y'$ 。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - \frac{y^{- \frac{2}{3}} y'}{3}$

解题步骤 2.3.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $y^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.4.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$- \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.2

将 $- \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $- \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}}{- 1} = \frac{- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{- 1}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}}{1} = \frac{- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{- 1}$

解题步骤 5.2.2.2

用 $\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$ 除以 $1$ 。

$\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = \frac{- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{- 1}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

解题步骤 5.2.3.2

用 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 除以 $1$ 。

$\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.3

两边同时乘以 $3 y^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}}) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 5.4

化简。

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解题步骤 5.4.1

化简左边。

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解题步骤 5.4.1.1

化简 $\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$ 。

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解题步骤 5.4.1.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$3 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 5.4.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1.1.2.1

约去公因数。

$3 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 5.4.1.1.2.2

重写表达式。

$\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 5.4.1.1.3

约去 $y^{\frac{2}{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1.1.3.1

约去公因数。

$\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 5.4.1.1.3.2

重写表达式。

$y' = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 5.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.4.2.1

化简 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$ 。

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解题步骤 5.4.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$y' = 3 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.4.2.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.2.1

约去公因数。

$y' = 3 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.4.2.1.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.4.2.1.3

组合 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 和 $y^{\frac{2}{3}}$ 。

$y' = \frac{y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

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