微积分学示例

$\sqrt{3 x + y} = 3 + x^{2} y^{2}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 x + y}$ 重写成 ${(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 3 + x^{2} y^{2}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} ({(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (3 + x^{2} y^{2})$

解题步骤 3

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 3 x + y$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x + y$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x + y]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + y]$

解题步骤 3.1.3

使用 $3 x + y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + y]$

解题步骤 3.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + y]$

解题步骤 3.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + y]$

解题步骤 3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(3 x + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + y]$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(3 x + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + y]$

解题步骤 3.5.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(3 x + y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + y]$

解题步骤 3.6

合并分数。

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解题步骤 3.6.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(3 x + y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + y]$

解题步骤 3.6.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(3 x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(3 x + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x + y]$

解题步骤 3.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(3 x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x + y]$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $3 x + y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\frac{1}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.8

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.10

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.11

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{1}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (3 + y')$

解题步骤 3.12

化简。

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解题步骤 3.12.1

重新排序 $\frac{1}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (3 + y')$ 的因式。

$(3 + y') \frac{1}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.12.2

将 $3 + y'$ 乘以 $\frac{1}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{3 + y'}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $3 + x^{2} y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

解题步骤 4.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y^{2}$ 。

$0 + x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$0 + x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.2.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$0 + x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$0 + x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x)$

解题步骤 4.2.5

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$0 + 2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

解题步骤 4.2.6

将 $2$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$0 + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

解题步骤 4.3

将 $0$ 和 $2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$ 相加。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{3 + y'}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

解题步骤 6

求解 $y'$ 。

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解题步骤 6.1

两边同时乘以 $2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 + y'}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

化简左边。

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解题步骤 6.2.1.1

化简 $\frac{3 + y'}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}})$ 。

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解题步骤 6.2.1.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \frac{3 + y'}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{3 + y'}{2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.1.1.2.2

重写表达式。

$\frac{3 + y'}{{(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.1.1.3

约去 ${(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1.3.1

约去公因数。

$\frac{3 + y'}{{(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.1.1.3.2

重写表达式。

$3 + y' = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.1.1.4

将 $3$ 和 $y'$ 重新排序。

$y' + 3 = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.1

化简 $(2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}})$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1

运用分配律。

$y' + 3 = 2 x^{2} y y' (2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}) + 2 y^{2} x (2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2.1.2

化简表达式。

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解题步骤 6.2.2.1.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y' + 3 = 4 x^{2} y y' {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y^{2} x (2 {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y' + 3 = 4 x^{2} y y' {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 y^{2} x {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2.2.1.2.3

移动 $y$ 。

$y' + 3 = 4 x^{2} y' y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 y^{2} x {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2.2.1.2.4

移动 $x^{2}$ 。

$y' + 3 = 4 y' x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 y^{2} x {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2.2.1.2.5

移动 $y^{2}$ 。

$y' + 3 = 4 y' x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 x y^{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3

求解 $y'$ 。

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解题步骤 6.3.1

从等式两边同时减去 $4 y' x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' + 3 - 4 y' x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 4 x y^{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$y' - 4 y' x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 4 x y^{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} - 3$

解题步骤 6.3.3

从 $y' - 4 y' x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 6.3.3.1

从 ${y'}^{1}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' \cdot 1 - 4 y' x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 4 x y^{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} - 3$

解题步骤 6.3.3.2

从 $- 4 y' x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} - 3$

解题步骤 6.3.3.3

从 $y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (1 - 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} - 3$

解题步骤 6.3.4

将 $y' (1 - 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} - 3$ 中的每一项除以 $1 - 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 并化简。

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解题步骤 6.3.4.1

将 $y' (1 - 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} - 3$ 中的每一项都除以 $1 - 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{y' (1 - 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 - 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{4 x y^{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 - 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3}{1 - 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.4.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.4.2.1

约去公因数。

解题步骤 6.3.4.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{4 x y^{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 - 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3}{1 - 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.4.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.4.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{4 x y^{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} - 3}{1 - 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x y^{2} {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}} - 3}{1 - 4 x^{2} y {(3 x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

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