微积分学示例

$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) = \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{y}$ 。

$- x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1$ 且 $g (x) = y$ 。

$- x^{- 2} - \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- x^{- 2} - \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- x^{- 2} - \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- x^{- 2} - \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

解题步骤 2.3.6

将 $y$ 乘以 $0$ 。

$- x^{- 2} - \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

解题步骤 2.3.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- x^{- 2} - \frac{0 - y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

解题步骤 2.3.8

从 $0$ 中减去 $y'$ 。

$- x^{- 2} - \frac{- y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

解题步骤 2.3.9

将负号移到分数的前面。

$- x^{- 2} - - \frac{y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

解题步骤 2.3.10

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- x^{- 2} + 1 \frac{y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

解题步骤 2.3.11

将 $\frac{y'}{y^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- x^{- 2} + \frac{y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

解题步骤 2.3.12

将 $\frac{1}{y}$ 乘以 $0$ 。

$- x^{- 2} + \frac{y'}{y^{2}} + 0$

解题步骤 2.3.13

将 $\frac{y'}{y^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$- x^{- 2} + \frac{y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.4.2

重新排序项。

$\frac{y'}{y^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{y'}{y^{2}} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

在等式两边都加上 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{y'}{y^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 5.2

两边同时乘以 $y^{2}$ 。

$\frac{y'}{y^{2}} y^{2} = \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

化简左边。

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解题步骤 5.3.1.1

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y'}{y^{2}} y^{2} = \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

解题步骤 5.3.1.1.2

重写表达式。

$y' = \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

解题步骤 5.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $y^{2}$ 。

$y' = \frac{y^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}}$

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