微积分学示例

$x^{9} (x + y) = y^{2} (7 x - y)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{9} (x + y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} (7 x - y))$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{9}$ 且 $g (x) = x + y$ 。

$x^{9} \frac{d}{d x} [x + y] + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $x + y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 。

$x^{9} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{9} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x^{9} (1 + y') + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 9$ 。

$x^{9} (1 + y') + (x + y) (9 x^{8})$

解题步骤 2.5

将 $9$ 移到 $x + y$ 的左侧。

$x^{9} (1 + y') + 9 \cdot (x + y) x^{8}$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

运用分配律。

$x^{9} \cdot 1 + x^{9} y' + 9 (x + y) x^{8}$

解题步骤 2.6.2

运用分配律。

$x^{9} \cdot 1 + x^{9} y' + (9 x + 9 y) x^{8}$

解题步骤 2.6.3

运用分配律。

$x^{9} \cdot 1 + x^{9} y' + 9 x \cdot x^{8} + 9 y x^{8}$

解题步骤 2.6.4

合并项。

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解题步骤 2.6.4.1

将 $x^{9}$ 乘以 $1$ 。

$x^{9} + x^{9} y' + 9 x \cdot x^{8} + 9 y x^{8}$

解题步骤 2.6.4.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{8}$ 。

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解题步骤 2.6.4.2.1

移动 $x^{8}$ 。

$x^{9} + x^{9} y' + 9 (x^{8} x) + 9 y x^{8}$

解题步骤 2.6.4.2.2

将 $x^{8}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.6.4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{9} + x^{9} y' + 9 (x^{8} x^{1}) + 9 y x^{8}$

解题步骤 2.6.4.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{9} + x^{9} y' + 9 x^{8 + 1} + 9 y x^{8}$

解题步骤 2.6.4.2.3

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$x^{9} + x^{9} y' + 9 x^{9} + 9 y x^{8}$

解题步骤 2.6.4.3

将 $x^{9}$ 和 $9 x^{9}$ 相加。

$10 x^{9} + x^{9} y' + 9 y x^{8}$

解题步骤 2.6.5

重新排序项。

$10 x^{9} + x^{9} y' + 9 x^{8} y$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = y^{2}$ 且 $g (x) = 7 x - y$ 。

$y^{2} \frac{d}{d x} [7 x - y] + (7 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $7 x - y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ 。

$y^{2} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (7 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.2.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$y^{2} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (7 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y^{2} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]) + (7 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.2.4

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$y^{2} (7 + \frac{d}{d x} [- y]) + (7 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [y]$ 。

$y^{2} (7 - \frac{d}{d x} [y]) + (7 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$y^{2} (7 - y') + (7 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$y^{2} (7 - y') + (7 x - y) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$y^{2} (7 - y') + (7 x - y) (2 u \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.4.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y^{2} (7 - y') + (7 x - y) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.5

将 $2$ 移到 $7 x - y$ 的左侧。

$y^{2} (7 - y') + 2 \cdot (7 x - y) y \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.6

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$y^{2} (7 - y') + 2 (7 x - y) y y'$

解题步骤 3.7

化简。

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解题步骤 3.7.1

运用分配律。

$y^{2} \cdot 7 + y^{2} (- y') + 2 (7 x - y) y y'$

解题步骤 3.7.2

运用分配律。

$y^{2} \cdot 7 + y^{2} (- y') + (2 (7 x) + 2 (- y)) y y'$

解题步骤 3.7.3

运用分配律。

$y^{2} \cdot 7 + y^{2} (- y') + (2 (7 x) y + 2 (- y) y) y'$

解题步骤 3.7.4

运用分配律。

$y^{2} \cdot 7 + y^{2} (- y') + 2 (7 x) y y' + 2 (- y) y y'$

解题步骤 3.7.5

合并项。

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解题步骤 3.7.5.1

将 $7$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$7 \cdot y^{2} + y^{2} (- y') + 2 (7 x) y y' + 2 (- y) y y'$

解题步骤 3.7.5.2

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$7 y^{2} + y^{2} (- y') + 14 x y y' + 2 (- y) y y'$

解题步骤 3.7.5.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$7 y^{2} + y^{2} (- y') + 14 x y y' - 2 y \cdot y y'$

解题步骤 3.7.5.4

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$7 y^{2} + y^{2} (- y') + 14 x y y' - 2 (y^{1} y) y'$

解题步骤 3.7.5.5

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$7 y^{2} + y^{2} (- y') + 14 x y y' - 2 (y^{1} y^{1}) y'$

解题步骤 3.7.5.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$7 y^{2} + y^{2} (- y') + 14 x y y' - 2 y^{1 + 1} y'$

解题步骤 3.7.5.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$7 y^{2} + y^{2} (- y') + 14 x y y' - 2 y^{2} y'$

解题步骤 3.7.5.8

从 $y^{2} (- y')$ 中减去 $2 y^{2} y'$ 。

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解题步骤 3.7.5.8.1

将 $y^{2}$ 和 $- 1$ 重新排序。

$7 y^{2} - 1 \cdot y^{2} y' - 2 y^{2} y' + 14 x y y'$

解题步骤 3.7.5.8.2

从 $- 1 \cdot y^{2} y'$ 中减去 $2 y^{2} y'$ 。

$7 y^{2} - 3 y^{2} y' + 14 x y y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$10 x^{9} + x^{9} y' + 9 x^{8} y = 7 y^{2} - 3 y^{2} y' + 14 x y y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

因为 $y'$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$7 y^{2} - 3 y^{2} y' + 14 x y y' = 10 x^{9} + x^{9} y' + 9 x^{8} y$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $x^{9} y'$ 。

$7 y^{2} - 3 y^{2} y' + 14 x y y' - x^{9} y' = 10 x^{9} + 9 x^{8} y$

解题步骤 5.3

从等式两边同时减去 $7 y^{2}$ 。

$- 3 y^{2} y' + 14 x y y' - x^{9} y' = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}$

解题步骤 5.4

从 $- 3 y^{2} y' + 14 x y y' - x^{9} y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.4.1

从 $- 3 y^{2} y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- 3 y^{2}) + 14 x y y' - x^{9} y' = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}$

解题步骤 5.4.2

从 $14 x y y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- 3 y^{2}) + y' (14 x y) - x^{9} y' = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}$

解题步骤 5.4.3

从 $- x^{9} y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- 3 y^{2}) + y' (14 x y) + y' (- x^{9}) = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}$

解题步骤 5.4.4

从 $y' (- 3 y^{2}) + y' (14 x y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- 3 y^{2} + 14 x y) + y' (- x^{9}) = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}$

解题步骤 5.4.5

从 $y' (- 3 y^{2} + 14 x y) + y' (- x^{9})$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}) = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}$

解题步骤 5.5

将 $y' (- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}) = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}$ 中的每一项除以 $- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}$ 并化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $y' (- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}) = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}$ 中的每一项都除以 $- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}$ 。

$\frac{y' (- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9})}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}} = \frac{10 x^{9}}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}} + \frac{9 x^{8} y}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}} + \frac{- 7 y^{2}}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}}$

解题步骤 5.5.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.1

约去 $- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.1.1

约去公因数。

解题步骤 5.5.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{10 x^{9}}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}} + \frac{9 x^{8} y}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}} + \frac{- 7 y^{2}}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}}$

解题步骤 5.5.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.3.1

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{10 x^{9}}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}} + \frac{9 x^{8} y}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}} - \frac{7 y^{2}}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}}$

解题步骤 5.5.3.2

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}} - \frac{7 y^{2}}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}}$

解题步骤 5.5.3.3

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}}$

解题步骤 5.5.3.4

从 $- 3 y^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}}{- (3 y^{2}) + 14 x y - x^{9}}$

解题步骤 5.5.3.5

从 $14 x y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}}{- (3 y^{2}) - (- 14 x y) - x^{9}}$

解题步骤 5.5.3.6

从 $- (3 y^{2}) - (- 14 x y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}}{- (3 y^{2} - 14 x y) - x^{9}}$

解题步骤 5.5.3.7

从 $- x^{9}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}}{- (3 y^{2} - 14 x y) - (x^{9})}$

解题步骤 5.5.3.8

从 $- (3 y^{2} - 14 x y) - (x^{9})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}}{- (3 y^{2} - 14 x y + x^{9})}$

解题步骤 5.5.3.9

重写负数。

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解题步骤 5.5.3.9.1

将 $- (3 y^{2} - 14 x y + x^{9})$ 重写为 $- 1 (3 y^{2} - 14 x y + x^{9})$ 。

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}}{- 1 (3 y^{2} - 14 x y + x^{9})}$

解题步骤 5.5.3.9.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}}{3 y^{2} - 14 x y + x^{9}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}}{3 y^{2} - 14 x y + x^{9}}$

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