微积分学示例

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 1

将积分表示为 $t$ 趋于 $\infty$ 时的极限。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$lim_{t \to \infty} \ln (| x |)]_{1}^{t}$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

计算 $\ln (| x |)$ 在 $t$ 处和在 $1$ 处的值。

$lim_{t \to \infty} \ln (| t |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 3.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$lim_{t \to \infty} \ln (\frac{| t |}{| 1 |})$

解题步骤 4

当对数趋于无穷大时，值趋于 $\infty$ 。

$\infty$

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