微积分学示例

$\frac{x y - y^{2}}{y - x} = 1$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\frac{x y - y^{2}}{y - x}) = \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x y - y^{2}$ 且 $g (x) = y - x$ 。

$\frac{(y - x) \frac{d}{d x} [x y - y^{2}] - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x y - y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ 。

$\frac{(y - x) (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$\frac{(y - x) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{(y - x) (x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(y - x) (x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.5.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(y - x) (x y' + y + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$\frac{(y - x) (x y' + y - \frac{d}{d x} [y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{(y - x) (x y' + y - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(y - x) (x y' + y - (2 u \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.6.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{(y - x) (x y' + y - (2 y \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 (y \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.8

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.9

根据加法法则， $y - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.10

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.11

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' - \frac{d}{d x} [x])}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' - 1 \cdot 1)}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.13

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.14

化简。

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解题步骤 2.14.1

运用分配律。

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.14.2

化简分子。

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解题步骤 2.14.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.14.2.1.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(y - x) (x y' + y - 2 y y')$ 。

$\frac{y (x y') + y \cdot y + y (- 2 y y') - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.14.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 2.14.2.1.2.1

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{y (x y') + y^{2} + y (- 2 y y') - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.14.2.1.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y (y y') - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.14.2.1.2.3

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 2.14.2.1.2.3.1

移动 $y$ 。

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 (y \cdot y) y' - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.14.2.1.2.3.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.14.2.1.2.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.14.2.1.2.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - (x \cdot x) y' - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.14.2.1.2.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.14.2.1.2.5

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 2 x y y' + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.14.2.1.3

将 $y (x y')$ 和 $2 x y y'$ 相加。

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解题步骤 2.14.2.1.3.1

将 $y$ 和 $x$ 重新排序。

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + x y y' + 2 x y y' + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.14.2.1.3.2

将 $x y y'$ 和 $2 x y y'$ 相加。

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.14.2.1.4

乘以 $- - y^{2}$ 。

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解题步骤 2.14.2.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' + (- x y + 1 y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.14.2.1.4.2

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' + (- x y + y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.14.2.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(- x y + y^{2}) (y' - 1)$ 。

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解题步骤 2.14.2.1.5.1

运用分配律。

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y (y' - 1) + y^{2} (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.14.2.1.5.2

运用分配律。

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' - x y \cdot - 1 + y^{2} (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.14.2.1.5.3

运用分配律。

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' - x y \cdot - 1 + y^{2} y' + y^{2} \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.14.2.1.6

化简每一项。

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解题步骤 2.14.2.1.6.1

乘以 $- x y \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.14.2.1.6.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + 1 x y + y^{2} y' + y^{2} \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.14.2.1.6.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' + y^{2} \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.14.2.1.6.2

将 $- 1$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' - 1 \cdot y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.14.2.1.6.3

将 $- 1 y^{2}$ 重写为 $- y^{2}$ 。

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' - y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.14.2.2

合并 $y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' - y^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 2.14.2.2.1

将 $- x y$ 和 $x y$ 相加。

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + 0 + y^{2} y' - y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.14.2.2.2

将 $y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y'$ 和 $0$ 相加。

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y' - y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.14.2.2.3

从 $y^{2}$ 中减去 $y^{2}$ 。

$\frac{- 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y' + 0}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.14.2.2.4

将 $- 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y'$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y'}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.14.2.3

将 $- 2 y^{2} y'$ 和 $y^{2} y'$ 相加。

$\frac{- y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y'}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.14.2.4

从 $3 x y y'$ 中减去 $x y y'$ 。

$\frac{- y^{2} y' - x^{2} y' + 2 x y y'}{{(y - x)}^{2}}$

解题步骤 2.14.3

重新排序项。

$\frac{- y^{2} y' - x^{2} y' + 2 x y y'}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.4

化简分子。

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解题步骤 2.14.4.1

从 $- y^{2} y' - x^{2} y' + 2 x y y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 2.14.4.1.1

从 $- y^{2} y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$\frac{y' (- y^{2}) - x^{2} y' + 2 x y y'}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.4.1.2

从 $- x^{2} y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$\frac{y' (- y^{2}) + y' (- x^{2}) + 2 x y y'}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.4.1.3

从 $2 x y y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$\frac{y' (- y^{2}) + y' (- x^{2}) + y' (2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.4.1.4

从 $y' (- y^{2}) + y' (- x^{2})$ 中分解出因数 $y'$ 。

$\frac{y' (- y^{2} - x^{2}) + y' (2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.4.1.5

从 $y' (- y^{2} - x^{2}) + y' (2 x y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$\frac{y' (- y^{2} - x^{2} + 2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.4.2

分组因式分解。

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解题步骤 2.14.4.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ 并且它们的和为 $b = 2$ 。

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解题步骤 2.14.4.2.1.1

重新排序项。

$\frac{y' (- x^{2} - y^{2} + 2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.4.2.1.2

将 $- y^{2}$ 和 $2 x y$ 重新排序。

$\frac{y' (- x^{2} + 2 x y - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.4.2.1.3

从 $2 x y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{y' (- x^{2} + 2 (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.4.2.1.4

把 $2$ 重写为 $1$ 加 $1$

$\frac{y' (- x^{2} + (1 + 1) (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.4.2.1.5

运用分配律。

$\frac{y' (- x^{2} + 1 (x y) + 1 (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.4.2.1.6

将 $x y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y' (- x^{2} + x y + 1 (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.4.2.1.7

将 $x y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y' (- x^{2} + x y + x y - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.4.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.14.4.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{y' ((- x^{2} + x y) + x y - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.4.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{y' (x (- x + y) - y (- x + y))}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.4.2.3

通过因式分解出最大公因数 $- x + y$ 来因式分解多项式。

$\frac{y' ((- x + y) (x - y))}{{(- x + y)}^{2}}$

$\frac{y' (- x + y) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.4.3

合并指数。

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解题步骤 2.14.4.3.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{y' (- (x) + y) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.4.3.2

从 $y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{y' (- (x) - 1 (- y)) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.4.3.3

从 $- (x) - 1 (- y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{y' (- (x - y)) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.4.3.4

将 $- (x - y)$ 重写为 $- 1 (x - y)$ 。

$\frac{y' (- 1 (x - y)) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.4.3.5

对 $x - y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y' \cdot - 1 ({(x - y)}^{1} (x - y))}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.4.3.6

对 $x - y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y' \cdot - 1 ({(x - y)}^{1} {(x - y)}^{1})}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.4.3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y' \cdot - 1 {(x - y)}^{1 + 1}}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.4.3.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{y' \cdot - 1 {(x - y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.4.4

提取负因数。

$\frac{- y' {(x - y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.5

约去 ${(x - y)}^{2}$ 和 ${(- x + y)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.14.5.1

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- y' {(- 1 (- x) - y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.5.2

从 $- y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- y' {(- 1 (- x) - (y))}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.5.3

从 $- 1 (- x) - (y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- y' {(- 1 (- x + y))}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.5.4

对 $- 1 (- x + y)$ 运用乘积法则。

$\frac{- y' ({(- 1)}^{2} {(- x + y)}^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.5.5

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- y' (1 {(- x + y)}^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.5.6

将 ${(- x + y)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- y' {(- x + y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.5.7

约去公因数。

$\frac{- y' {(- x + y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.14.5.8

用 $- y'$ 除以 $1$ 。

$- y'$

解题步骤 3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- y' = 0$

解题步骤 5

将 $- y' = 0$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将 $- y' = 0$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y'}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y'}{1} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 5.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

用 $0$ 除以 $- 1$ 。

$y' = 0$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 0$

微积分学 示例

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