微积分学示例

$y = {(6 x - 5)}^{2} {(3 - x^{5})}^{2}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(6 x - 5)}^{2} {(3 - x^{5})}^{2})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

将 ${(6 x - 5)}^{2}$ 重写为 $(6 x - 5) (6 x - 5)$ 。

$\frac{d}{d x} [(6 x - 5) (6 x - 5) {(3 - x^{5})}^{2}]$

解题步骤 3.2

使用 FOIL 方法展开 $(6 x - 5) (6 x - 5)$ 。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(6 x (6 x - 5) - 5 (6 x - 5)) {(3 - x^{5})}^{2}]$

解题步骤 3.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(6 x (6 x) + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x - 5)) {(3 - x^{5})}^{2}]$

解题步骤 3.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(6 x (6 x) + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5) {(3 - x^{5})}^{2}]$

解题步骤 3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d x} [(6 \cdot 6 x \cdot x + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5) {(3 - x^{5})}^{2}]$

解题步骤 3.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [(6 \cdot 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5) {(3 - x^{5})}^{2}]$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [(6 \cdot 6 x^{2} + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5) {(3 - x^{5})}^{2}]$

解题步骤 3.3.1.3

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$\frac{d}{d x} [(36 x^{2} + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5) {(3 - x^{5})}^{2}]$

解题步骤 3.3.1.4

将 $- 5$ 乘以 $6$ 。

$\frac{d}{d x} [(36 x^{2} - 30 x - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5) {(3 - x^{5})}^{2}]$

解题步骤 3.3.1.5

将 $6$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{d}{d x} [(36 x^{2} - 30 x - 30 x - 5 \cdot - 5) {(3 - x^{5})}^{2}]$

解题步骤 3.3.1.6

将 $- 5$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{d}{d x} [(36 x^{2} - 30 x - 30 x + 25) {(3 - x^{5})}^{2}]$

解题步骤 3.3.2

从 $- 30 x$ 中减去 $30 x$ 。

$\frac{d}{d x} [(36 x^{2} - 60 x + 25) {(3 - x^{5})}^{2}]$

解题步骤 3.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 36 x^{2} - 60 x + 25$ 且 $g (x) = {(3 - x^{5})}^{2}$ 。

$(36 x^{2} - 60 x + 25) \frac{d}{d x} [{(3 - x^{5})}^{2}] + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

解题步骤 3.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 3 - x^{5}$ 。

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解题步骤 3.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 - x^{5}$ 。

$(36 x^{2} - 60 x + 25) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 - x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(36 x^{2} - 60 x + 25) (2 u \frac{d}{d x} [3 - x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

解题步骤 3.5.3

使用 $3 - x^{5}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(36 x^{2} - 60 x + 25) (2 (3 - x^{5}) \frac{d}{d x} [3 - x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

解题步骤 3.6

求微分。

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解题步骤 3.6.1

将 $2$ 移到 $36 x^{2} - 60 x + 25$ 的左侧。

$2 \cdot (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) \frac{d}{d x} [3 - x^{5}] + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

解题步骤 3.6.2

根据加法法则， $3 - x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ 。

$2 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

解题步骤 3.6.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

解题步骤 3.6.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ 相加。

$2 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) \frac{d}{d x} [- x^{5}] + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

解题步骤 3.6.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$2 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) (- \frac{d}{d x} [x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

解题步骤 3.6.6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}] + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

解题步骤 3.6.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- 2 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) (5 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

解题步骤 3.6.8

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

解题步骤 3.6.9

根据加法法则， $36 x^{2} - 60 x + 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25]$ 。

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25])$

解题步骤 3.6.10

因为 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $36 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25])$

解题步骤 3.6.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (36 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25])$

解题步骤 3.6.12

将 $2$ 乘以 $36$ 。

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25])$

解题步骤 3.6.13

因为 $- 60$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 60 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])$

解题步骤 3.6.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])$

解题步骤 3.6.15

将 $- 60$ 乘以 $1$ 。

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60 + \frac{d}{d x} [25])$

解题步骤 3.6.16

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60 + 0)$

解题步骤 3.6.17

将 $72 x - 60$ 和 $0$ 相加。

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60)$

解题步骤 3.7

化简。

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解题步骤 3.7.1

运用分配律。

$(- 10 (36 x^{2}) - 10 (- 60 x) - 10 \cdot 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60)$

解题步骤 3.7.2

将 $36$ 乘以 $- 10$ 。

$(- 360 x^{2} - 10 (- 60 x) - 10 \cdot 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60)$

解题步骤 3.7.3

将 $- 60$ 乘以 $- 10$ 。

$(- 360 x^{2} + 600 x - 10 \cdot 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60)$

解题步骤 3.7.4

将 $- 10$ 乘以 $25$ 。

$(- 360 x^{2} + 600 x - 250) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60)$

解题步骤 3.7.5

从 $(- 360 x^{2} + 600 x - 250) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60)$ 中分解出因数 $3 - x^{5}$ 。

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解题步骤 3.7.5.1

从 $(- 360 x^{2} + 600 x - 250) (3 - x^{5}) x^{4}$ 中分解出因数 $3 - x^{5}$ 。

$(3 - x^{5}) ((- 360 x^{2} + 600 x - 250) x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60)$

解题步骤 3.7.5.2

从 ${(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60)$ 中分解出因数 $3 - x^{5}$ 。

$(3 - x^{5}) ((- 360 x^{2} + 600 x - 250) x^{4}) + (3 - x^{5}) ((3 - x^{5}) (72 x - 60))$

解题步骤 3.7.5.3

从 $(3 - x^{5}) ((- 360 x^{2} + 600 x - 250) x^{4}) + (3 - x^{5}) ((3 - x^{5}) (72 x - 60))$ 中分解出因数 $3 - x^{5}$ 。

$(3 - x^{5}) ((- 360 x^{2} + 600 x - 250) x^{4} + (3 - x^{5}) (72 x - 60))$

解题步骤 3.7.6

重新排序 $(3 - x^{5}) ((- 360 x^{2} + 600 x - 250) x^{4} + (3 - x^{5}) (72 x - 60))$ 的因式。

$((- 360 x^{2} + 600 x - 250) x^{4} + (3 - x^{5}) (72 x - 60)) (3 - x^{5})$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = ((- 360 x^{2} + 600 x - 250) x^{4} + (3 - x^{5}) (72 x - 60)) (3 - x^{5})$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = ((- 360 x^{2} + 600 x - 250) x^{4} + (3 - x^{5}) (72 x - 60)) (3 - x^{5})$

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